Badanie monotoniczności zielone: Zbadaj monotoniczność ciągu: a_n = √n+3 − √n Niby proste zadanie, ale poległam... Z góry dziękuję za pomoc

Mati_gg9225535: policz a_n+1 i odejmij a_n+1 − a_n = x jesli x>0 to roznacy jesli x<0 to malejacy jesli x=0 to staly

zielone: Tak, tak to ja wiem... tylko jakoś utknęłam z tymi pierwiastkami: a_n+1−a_n = √n+4 − √n+1 − √n+3 + √n..... i nie wiem co dalej

Artur_z_miasta_Neptuna: skorzystaj z przekształcenia:

	a−b
√a − √b =
	√a + √b

Mati_gg9225535: rosnący zdaje się c:

zielone: Aaa dziękuję... W takim razie próbuję to w ten sposób zrobić. W razie czego będę pisać

zielone: Artur−z−miasta−Neptuna, a mogę Cię prosić, żebyś to jakoś rozpisał? Bo dziwne rrzeczy mi wychodzą...

Artur_z_miasta_Neptuna:

	n+3 − n		3
an = √n+3 − √n =		=
	√n+3 + √n		√n+3 + √n

	3
an+1 =
	√n+4 + √n+1

łatwo z tej formy zauważyć, że a_n+1 < a_n <−−−− dlaczego a więc jest to ciąg malejący

zielone: No w sumie... Nie popatrzyłam na to w ten sposób... Liczyłam różnicę i kosmiczny wynik wyszedł... Dzięki w takim razie, pozdr.

zielone: Jeszcze jedno pytanie. Jak to udowodnić,że a_n+1 jest mniejsze od a_n ? Bo w końcu na kolokwium się mogą czepiać skąd mi się to wzięło... A mam jeszcze mnóstwo podobnych przykładów do zrobienia i trochę to "niematematycznie" wytłumaczone....

zielone: No i np. tego już za pomocą tego przekształcenia nie zrobię, nie? a_n=n−√n+3

Artur_z_miasta_Neptuna: hmmm zakładam, że: a_n+1 ≥ a_n

3		3
	≥
√n+4 +√n+1		√n+3 + √n

liczniki i mianowniki to liczby dodatnie ... dzielę obie strony przez 3 a następnie mnożę na krzyż √n+3 + √n ≥ √n+4 + √n+1 czyli: (√n+3 −√n+4)+ (√n−√n+1) ≥ 0 sprzeczne. sprzeczność wynika z faktu, że funkcja f(x) = √x jest funkcją rosnącą albo zauważasz, że mianownik w a_n+1 jest większy od mianownika a_n ... jako że mają jednakowe liczniki ... to znaczy, że a_n+1 < a_n

Artur_z_miasta_Neptuna: nieee ... tego nie zrobisz ... ale nie ma powodu byś to było przekształceniem robione a_n+1 − a_n= (n+1 −√n+4) − (n−√n+3) = 1 +(√n+3−√n+4) =

	n+3 − (n+4)		1
= 1 +		= 1 −
	√n+3−√n+4		√n+3+√n+4

i wystarczy wykazać ... √n+3+√n+4 > √3 +√4 = √3 + 2 > 2 > 1 ... czyli:

1
	< 1
√n+3+√n+4

czyli:

	1
1 −		> 0
	√n+3+√n+4

jasne

Artur_z_miasta_Neptuna: druga linijka w mianowniku powinien być + a nie − pomiędzy pierwiastkami

zielone: Wszystko jasne Dzięki bardzo