taylor koleszka: jak rozwinąć w szereg arctg1.1? liczyć kolejne pochodne, które wyglądają coraz gorzej?

Trivial: f(x) = arctan(x)

	1
f'(x) =		= ∑n=0∞ (−x2)n = ∑n=0∞ (−1)nx2n
	1+x2

f(x) − f(0) = ∫₀^x f'(u)du // f(0) = 0

	(−1)n
f(x) = ∑n=0∞		x2n+1
	2n+1

Trivial: I mamy założenie: |x| < 1.

Trivial: Dodatkowo z twierdzenia Abela szereg ten jest zbieżny dla |x| = 1, gdyż z kryterium Leibniza

	(−1)n		1
naprzemienny szereg (±1)∑n=0∞		jest zbieżny (ciąg		jest
	2n+1		2n+1

nierosnący oraz opada do zera). Mamy zatem zbieżność dla |x| ≤ 1. Dla |x| > 1 korzystamy z zależności:

	π		1
arctan(x) =		− arctan(		)
	2		x

	1
Skoro |x| > 1 to |		| < 1, a zatem możemy rozwinąć tak jak poprzednio, tylko z nową
	x

wartością argumentu x. Np. dla x = 1.1 mamy:

	π		1		π		10
arctan(1.1) =		− arctan(		) =		− arctan(		)
	2		1.1		2		11

	π		(−1)n
=		− ∑n=0∞		(1011)2n+1
	2		2n+1

= ...