ciagi zadania granice pomocy: 1Sprawdzic czy ciag jest ograniczony i monotoniczny . b_n=^n2+2n+1_n²−3 2Krzystając z definicji granicy udowodnić że lim ²ⁿ_n³+1 3.Obliczyć granice a. sin √n+1−sin √n b. arctg(ⁿ²⁺¹_n) c.√n⁴−3n(³√1−n³+n) d.(³√1−¹_n−1)n e.√2*⁴√2*...*pierwiastek 2nstopnia z {2} 4. Wyznaczyć granice korzystając z twierdzenia o trzech ciągach a_n = ⁿ√⁽⁻¹⁾ⁿ_n²+2n b_n = n(¹_n²+1+ ¹_n²+2+..¹_n²+n) c n=√2−^{(−1)n+1+(−1)n+2+..+(−1)2n_n} Bardzo prosze o pomoc

Artur_z_miasta_Neptuna: kiedy koło masz na przyszłość ... piszesz ułamki −−− korzystaj z funkcji U zamiast u do zapisu

1
	1√2 <−−− jak widzisz jest różnica
√2

Artur_z_miasta_Neptuna: 1) co to znaczy że ciąg jest monotoniczny jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony 2) znasz definicję granicy (Cauchy'iego najlepiej) 3) a) przekształć korzystaj ze wzoru na zmiananę sinα − sinβ na iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych b) jaką przyjmuje wartość arctg w +∞ c) pozbądź się symbolu nieoznaczonego mnożąc i dzieląc przez 'sprzężenia (analogicznie do tego jak w liceum wyciągałeś/−aś niewymierność z mianownika d) tam na końcu jet *n czy ⁿ e) zamień wszystkie pierwiastki na 2^jakiej ... iloczyn ten = 2^{suma wykładników} a te wykładniki tworzą pewien ciąg −−− jaki to jest ciąg jak obliczyć tą sumę mając to wyznaczysz granicę

Artur_z_miasta_Neptuna: 4. a) nieczytelne

	n		n
b) n*		≤ to co tam masz ≤ n*		<−−− czy wiesz dlaczego
	n2+n		n2+1

c) nieczytelne

granice pomocy: ale ja nie weim jak to pozapisaywac bo mam robic krok po kroku jak w definicji

Artur_z_miasta_Neptuna: a czy znasz definicję ta wypowiedź się tyczy zadania 2 tak

granice pomocy:

	(−1)n		(−1)n+2+..+(−1)2n
bn= pn(		+2)n bn = n(1n2+1+ 1n2+2+..1n2+n) c n=√2−
	n		n

granice pomocy: w b_n jest pierwiastego n−tego stopnia z calego tego w b wyrażenia

granice pomocy:

	an+1
W 1 robilem		ale mi straszne liczby wychodza i nie wiem jak to oszacowac
	an

Artur_z_miasta_Neptuna: zaobacz co napisałeś o 18:53.... skąd mamy wiedzieć co to jest 1n2+1+1n2+2 ... co to w ogóle jest

Artur_z_miasta_Neptuna: n²+2n+1 = (n+1)²

(n+2)2   (n+1)2−3		(n+2)2*(n2−3)
	=		=
(n+1)2   n2−3		(n+1)2*((n+1)2−3)

= .... a dalej mi się nie chce

granice pomocy:

	1		1		1
bn=n(		+		+..+		)
	n2+1		n2+2		nn+n

Artur_z_miasta_Neptuna: na pewno nie ma nⁿ + n zresztą to napisałem Ci nawet jak masz oszacować (18:45)

granice pomocy:

	x4+4n3+n2−12n−3
w tym 1 wychodzi na koncu		i co z tym zrobic?
	n4+4n3+3n2−2n−2

granice pomocy: znowu sie pomylilem ma byc n²+n

granice pomocy: a skad takie oszacowanie w tym 4b?

Artur_z_miasta_Neptuna: zobaczyć czy to jest większe czy mniejsze od 1 licznik: n⁴+4n³+n²−12n−3 = (n⁴+4n³+3n²−2n−2) −2n² −10n−1 = mianownik −(2n²+10n+1) czyli:

licznik		2n2+10n+1
	= 1 −		a to jest większe czy mniejsze od 1
mianownik		mianownik

Artur_z_miasta_Neptuna:

1		1		1
	,		, ...,		<−−− a która z tych liczb będzie najmniejsza a
n2+1		n2+2		n2+n

która największa (dla jakiegoś zadanego 'n') i dlaczego

granice pomocy: 4b chyba weim najwieksza to ta ktora ma najmniejmniejszy mianowanik a najmniejsza ta ktora ma najwiekszy mianownik tak? 1. chyba mniejsze od jedynki

Artur_z_miasta_Neptuna: 4b. czyli które .. wskaż mi 1. na pewno mniejsze bo masz 1 − coś dodatniego

granice pomocy:

	√n+1−√n		√n+1+√n
W 3a wyszlo z twojej wskazowki cos takiego: 2sin		*cos		i co
	2		2

dalej?

granice pomocy:

	1		1
najwiekszy to		najmniejszy
	n2+1		n2+n

Artur_z_miasta_Neptuna: kąt w cosinusie nie ma symbolu nieoznaczonego .... kąt w sinusie to symbol nieoznaczony −−− przez sprzężenie 4b. dokładne

	1
więc każdy ten ułamek zastępujesz		... więc otrzymujesz
	n2+1

	1		1		1		n
n*(		+		+... +		) = n*		<−−− i masz oszacowanie od góry
	n2+1		n2+1		n2+1		n2+1

analogicznie z szacowaniem od dołu

granice pomocy: ok 4b juz rozumiem ale z tym symbolem nie oznaczonym to nie pojmuje tego

Artur_z_miasta_Neptuna: √n+1 − √n to jest ∞−∞ czyli symbol nieoznaczony dlatego trzeba przekształcić:

√n+1 − √n		√n+1 − √n		√n+1 + √n
	=		*		=
2		2		√n+1 + √n

	(n+1) − (n)		1
=		=		<−−− i już nie ma symbolu
	2(√n+1 + √n)		2(√n+1 + √n)

nieoznaczonego teraz otrzymujesz:

	√n+1 + √n
lim 2*sin(U{1}{2(√n+1 + √n))cos(		−> // tego nie należy od tak pisać:
	2

2*sin(0)*cos(+∞) // .... korzystając albo to z tw. o 3 ciągach (szacuj cos(U{√n+1 + √n}{2}) za pomocą 1 i −1) albo z tw. o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do 0 ... wyznaczasz, że granica tego ciągu wynosi 0

granice pomocy: ale jak to oszacowac bo z zapisu odczytac sie nie moge

Artur_z_miasta_Neptuna: 1 ≥ cos (czegokolwiek ... w tym tego co tam masz) ≥ −1

Artur_z_miasta_Neptuna: przecież cosx ∊<−1;1>

granice pomocy: ale nie rozumiem dlaczego ta granica cosinusa co jest w tym ulamku to jest zero

Artur_z_miasta_Neptuna: granica cosinusa nie jest równa zero cosinus (+∞) −−− ta granica NIE ISTNIEJE ale cosinus jest funkcją ograniczoną natomiast sin(0) = 0 z tw. o 3 ciągach albo z tw. które napisałem wynika że granica tego wyrażenia 2*sin(...)*cos(,,,) = 0

granice pomocy: czyli podsumuje sin(√n+1−√n) granica jest 0 cos(√n+1+√n) jest ograniczony czyli granica wynosi 0 o to chodzi?

granice pomocy: chodzi mi o to granice calego wyrazenia oczywiscie

Artur z miasta Neptuna: Sin ... granica zero cos ... ograniczony a wiec sin*cos ... granica 0

granice pomocy:

	π		π
arctg(+∞)=		to bo		to asymptota arctg dobrze to jest?
	2		2

a pozostałe zadnia to jak zrobic?

Artur_z_miasta_Neptuna: tak ... dobrze

Artur_z_miasta_Neptuna: napisałem jak ... trochę inwencji twórczej

granice pomocy: ale nie wiem jak bardzo prosze

granice pomocy: w 1 wszyszlo ze jest to ciag malejacy ale jak wykazacz ze jest ograniczony trzeba liczby podstawiac i zobaczyc jak liczby ten ciag ograniczaja?

Artur_z_miasta_Neptuna: napisałem Ci ... ciąg zbieżny (posiadający granicę właściwą) to ciąg ograniczony

Artur_z_miasta_Neptuna: inaczej ... jeżeli ciąg zbieżny to ciągiem ograniczonym

granice pomocy:

	1		1
4a. mam takie dwa ciagie przez ktore szacuje n√2n−		oraz n√2n+		jest
	n2		n2

dobrze? a jakie oszacowanie do c z 4. I z 3 dalej nie wiem jak zrobic c,d,e

Artur_z_miasta_Neptuna: 4a ... jak najbardziej 4c ... zapisz co tam jest pod pierwiastkiem (bez samego pierwiastka już) bo jest to nieczytelne )

Artur_z_miasta_Neptuna: e √2*⁴√2*...*(2)^1/(2n) = 2^1/2*2^1/4*....*2^1/(2n) = 2^{1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)} = = 2^S_n

	1		1
musisz wyliczyć to Sn ... masz tutaj n elementów, a1 w		a q =		a więc Sn =
	2		2

granice pomocy:

	(−1)n+1+(−1)n+2+(−1)n+3+...+(−1)2n
ok 4c 2−
	n

Artur_z_miasta_Neptuna: zauważ, że: masz dokładnie w tym liczniku masz dokładnie 'n' wyrażeń (−1)^{do jakiejś} ... bo od n+1 do 2n = n+n jeżeli n jest liczbą parzystą ... to ile wyniesie suma parzystej liczby (−1) i parzystej liczby (+1) oczywiście 0 jeżeli n jest liczbą nieparzystą to czego będzie więcej (−1) czy (+1) ... ... czyli (−1)^nieparzystej czy (−1)^parzystej w takim razie licznik będzie wynosił

granice pomocy: −1?

	1		1
czy dwa ciagi ktore beda ograniczac to 2−		i 2+		one sa oba pod pierwiastkami .czy
	n		n

tak ma być?

Artur_z_miasta_Neptuna: tak mozna zrobić ... korzystasz wtedy z tw. o 3 ciągach

Student: to dobrze a co z tymi z 3 d i c podpunktami?

Artur_z_miasta_Neptuna: 3d)

	a3−b3
(a−b) =		<−−− wzory skróconego mnożenia się kłaniają
	(a2+ab+b2

po zastosowaniu niwelujesz symbol nieoznaczony 0^∞ 3c ... analogicznie ... sam spróbuj