Rozwiązywanie niejednorodnych rekurencji metodą przewidywania Ann:

	1
an+2=		(an+1+an+3n)
	2

Po przewidzeniu rozwiązanie wychodzi w takiej postaci a_n=a+b(⁻¹₂)ⁿ+Cn²+Dn Trzeba wyliczyć współczynniki a,b,C,D rozwiązując układy równań. Można wyliczyć je jakoś szybciej? Spytałam się na szybko po zajęciach prowadzącego i pokazał mi coś w tym stylu rozwiązanie szczegółowe podstawił za an

	1		3
C(n+2)2+B(n+2)=		(C(n+1)2+B(n+1)+Cn2+Bn)+		n
	2		2

i na szybko licząc w pamięci (mógł się pomylić) napisał coś takiego 2nC+Dn=(C+D)n

	C+D
4C+2D=
	2

Jak do tego doszedł i czy istnieje i jest poprawna ta 'szybsza' metoda znajdywania tych współczynników? Mógłby ktoś wyjaśnić? Bo czasem są układy równań z sześcioma niewiadomymi z takimi ułamkami, że odechciewa się tego rozwiązywać nawet Gaussem..

Ann: Aha a₀=0 a₁=1

Krzysiek: rozwiązanie niejednorodne szukamy w takiej postaci: a_n=(cn+d)n wstawiasz do równania i wyliczasz 'c' i 'd' więc masz tylko 2 niewiadome. po wyliczeniu 'c' i 'd' a_n=a+b(−1/2)ⁿ +cn² +dn wyliczasz 'a' i 'b' z warunków początkowych. więc nie masz tu 6 niewiadomych...

Ann: Czasem (w innych zadaniach) są duże układy równań. W tym akurat są 4 niewiadome. Napisałeś "wstawiasz do równania i wyliczasz c i d" ale właśnie problem w tym, że tego kroku nie rozumiem i nie wiem skąd się bierze

Krzysiek: skoro: a_n=(cn+d)n to: a_n+1=(c(n+1)+d)(n+1) a_n+2=(c(n+2)+d)(n+2) wstawiasz do równania i wyliczasz 'c' i 'd' porównując odpowiednie elementy

Ann: Ok wyszło, dziękuję. Po czym stwierdzam, że ułamki to ZŁO.

Ann: Robię ten sam przykład przy pomocy funkcji tworzących i wychodzi mi

	2x2+x
F(x)=		ale nie potrafię tego rozłożyć na ułamki proste
	(1−x)(1−x)(x+2)

A		B		C		(A+B)(1−x)(2+x)+C(1−x)2
	+		+		=		=
1−x		1−x		x+2		(1−x)(1−x)(x+2)

	2x2+x		x2(−A−B+C)+x(−A−B−2C)+(C+2A+2B)
=		=
	(1−x)(1−x)(x+2)		(1−x)(1−x)(x+2)

Układ równań wychodzi sprzeczny Dlaczego tak się dzieje? Pomyliłam się w przekształcaniu funkcji tworzącej czy rozkładzie?

Ann: Mózg mi się smaży już od tego liczenia

Ann: Ponawiam, liczyłam dziś rano trzeci raz i znów nie wyszło, a podobno zawsze wychodzi za pomocą funkcji tworzących

Krzysiek:

	B
drugi ułamek powinien być taki:
	(1−x)2

nie sprawdzałem czy F(x) jest ok.

Ann:

	B		C
A co z pierwszym? Który zostanie? F(x)=		+		?
	(1−x)2		(x+2)

Krzysiek: przykładowo:

f(x)		A		B
	=		+
(1−x)2		1−x		(1−x)2

więc reszta.

Krzysiek: miało być: więc reszta zostaje.

Ann: Niby wyszło

	4	1		1		2	1
−			+		+			i nie wiem co zrobić z ostatnim składnikiem
	3	1−x		(1−x)2		3	x+2

Pierwszy składnik zapisuję normalnie jako szereg, drugi jako pochodna szeregu, a jak zamienić ten trzeci?

Krzysiek:

1		1		1
	=				=...
x+2		2		1−(−x/2)

Ann: Oo no tak, dzięki

	1		1		1
Końcowy wynik wyszedł an=		(−		)n+n−		niestety inny niż powinien, ale
	3		2		3

podobny. Będę jeszcze męczyć to na uczelni za chwilę