Rush: Otoz mam problem z kilkoma zadaniami; p Moglby mi ktos pomoc wykazac, ze: a) Jezeli n∈N to, 21|2⁴ⁿ+5 b) 7|2ⁿ⁺² + 3{2n+1} c) Pokaz dwie ostatnie cyfry liczby 9⁹⁹ d) 7|10⁴⁹+5³ Zadania maja byc zrobione kongruencyjnie. W a) chodzi o 2⁴ⁿ, gdzie n jest wykladnikiem dla czworki

Rush: Oh bylbym zapomnial, w b) chodzi o 3²ⁿ⁺¹, a w c) O 9⁹, gdzie trzecia 9 jest wykladnikiem dla tej drugiej; p

Vax: 1) Zauważ, że z Twierdzenia Eulera wynika 2¹² == 1 (mod 21). Zauważ również, że zachodzi 4ⁿ == 4 (mod 12) (możesz to udowodnić indukcyjnie) skąd wynika 4ⁿ = 12k+4 czyli: 2⁴ⁿ+5 == 2^12k * 2⁴ + 5 == 2⁴+5 == 0 (mod 21) cnd. 2) 2ⁿ⁺²+3²ⁿ⁺¹ == 2ⁿ⁺²+3²ⁿ*3 == 2ⁿ⁺²+2ⁿ*3 == 2ⁿ(4+3) == 2ⁿ*7 == 0 (mod 7) 3) Zauważ, że z Twierdzenia Eulera wynika 9⁴⁰ == 1 (mod 100) oraz zauważ, że 9² == 1 (mod 40) ⇒ 9⁹ == 9 (mod 40) ⇔ 9⁹ = 40k+9 czyli: 9⁹⁹ == 9^40k * 9⁹ == 9⁹ == 89 (mod 100) 4) W tym zadaniu masz błąd, dane wyrażenie nie dzieli się przez 7, ponieważ przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2: 10⁴⁹+5³ == 3⁴⁹+5³ == 3+5³ == 2 (mod 7) Pozdrawiam.