zadanie z indukcją mloda1893: Mam za pomocą indukcji matematycznej udowodnic nierówność dla n>1 2!*4!*...*(2*n)!>[(n+1)!]ⁿ POMOCY!

PW: Sądząc po rozpaczliwym wydźwięku apelu zaczniemy od elementarza. Co mówi ten wzór (nierówność)? Ano,że po lewej stronie jest iloczyn silni kolejnych liczb parzystych − zaczynamy od 2!, a kończymy na (2n)!.. Mamy sprawdzać ten wzór dla n>1. I słusznie, dla n=1 byłoby 2! po lewej stronie, a po prawej [(1+1)!]¹, czyli po lewej 2 i po prawej 2 (nie ma nierówności). Zaczynamy więc sprawdzać dla n=2. L = 2!^.(2^.2)! = 2^.4!=2^.2^.3^.4=4^.12; P={(2+1)!]²=3!²=[(2^.3)]²= 4^.9 L>P Dokonaliśmy sprawdzenia prawdziwości twierdzenia dla n=2. Zasada indukcji mówi, że po znalezieniu pierwszej liczby naturalnej, dla której twierdzenie jest prawdziwe, trzeba założyć prawdziwość dla dowolnej, na czas rozważań ustalonej ale nie wskazywanej konkretnie liczby naturalnej niech to będzie k. Założenie indukcyjne: Twierdzenie jest prawdziwe dla n=k, tzn. (1) 2!^.4!^....^.(2k)! > [(k+1)]^k Teza indukcyjna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby następnej po k, to znaczy dla n=k+1: (2) 2!^.4!^....^.(2k)![(2(k+1)]! > [(k+1)+1)!]^k+1 Zauważmy, że sformułowanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej nie jest niczym trudnym, ja dla jasności wypowiedzi przyjmuję n=k i n=k+1, żeby założenie jakoś się różniło w zapisie od rozważanego wzoru. W gruncie rzeczy założenie indukcyjne to zadane twierdzenie, w którym zamiast n piszemy k. Niektórzy mówią, że jest to dobry "chwyt dydaktyczny" ułatwiający początkującym zrozumienie. Teza indukcyjna to też to samo twierdzenie, ale sformułowane dla liczby następnej, stąd po lewej stronie jest o jeden czynnik więcej − przybył [(2(k+1)]!, a po prawej stronie rolę n pełni teraz (k+1). Istota dowodu indukcyjnego polega na udowodnieniu tezy (2) przy założeniu prawdziwości (1). Trzeba dotąd męczyć lewą stronę (2), żeby (wykorzystując (1)) pokazać, że jest większa od prawej (2). Może sama spróbujesz i pochwalisz się tu?

mloda1893: Dla n=2 udało mi się udowodnić samej twierdzenie, ale właśnie później nie wiedziałam jak wybrnąć z tych silni... a w pewnym momencie wyszło mi, że L<P więc sprzeczność, ale wiem, że mogłam popełnić błąd gdzieś...

PW: L=2!.4!.....(2k)![(2(k+1)]!>[(k+1)!]^k[(2(k+1)]! Do wszystkich czynników po lewej stronie oprócz ostatniego zastosowaliśmy założenie (1), stąd nierówność. L>[(k+1)!]^k[(2(k+1)]! = [(k+1)!]^k(k+1)!(k+2)(k+3)...(2k+2) = [(k+1)!]^k+1(k+2)(k+3)...(2k+2) Każdy z czynników (k+2), (k+3), ... (2k+2) jest większy lub równy (k+2), a jest ich k+1. To trzeba widzieć : pierwszy numer jest (k+2), ostatni (2k+2), a więc jest ich (2k+2)−(k+2)+1 = k+1. Wobec tego L> [(k+1)!]^k+1(k+2)^k+1 = [(k+1)!(k+2)]^k+1 = [(k+2)!]^k+1, a to mieliśmy udowodnić. Krok indukcyjny powiódł się, nierówność jest prawdziwa dla wszystkich naturalnych n≥2.

mloda1893: Dziękuję!

nick237: skąd się wzięła końcówka? "(2k+2)−(k+2)+1 = k+1. Wobec tego L> [(k+1)!]k+1(k+2)k+1 = [(k+1)!(k+2)]k+1 = [(k+2)!]k+1" mam to samo zadanie i nie wiem

PW: Kupując bilety tramwajowe o numerach od 615 do 627 dostajesz 627−615+1 = 12+1 biletów.

nick237: a skąd wiadomo że L>P? nie widać tego

PW: Jest wszystko napisane: każdy z czynników (k+2), (k+3), ..., (2k+2) jest większy od (k+2), a jest tych czynników k+1. Ponieważ L=[(k+1)!]^k+1(k+2)(k+3)^....^.(2k+2), to L>[(k+1)!]^k+1(k+2)^k+1 = [(k+2)!]^k+1 = P

nick237: coś się nie zgadza przecież L = 2!*4!*...*(2n)!*[2(n+1)!] a nie L=[(k+1)!]k+1(k+2)(k+3).....(2k+2), wytłumacz to łopatologicznie

nick237: coś się nie zgadza przecież L = 2!*4!*...*(2n)!*[2(n+1)!] a nie L=[(k+1)!]k+1(k+2)(k+3).....(2k+2), wytłumacz to łopatologicznie

Eta: Jaką "łopatą" ?

nick237: najprostszą

PW: Z braku innych źródeł pod ręką zacytuję siebie: Co mówi ten wzór (nierówność)? Ano,że po lewej stronie jest iloczyn silni kolejnych liczb parzystych − zaczynamy od 2!, a kończymy na (2n)!. Dla n=k+1 mamy więc: L = 2!.4!.....(2k)![(2(k+1)]! (iloczyn silni kolejnych liczb parzystych − od 2! do (2k)! i specjalnie osobno wypisany ostatni czynnik [(2(k+1)]! O tym iloczynie 2!^.4!^. ... ^./(2k)! mówi założenie indukcyjne − że taki iloczyn jest większy od (k+1)^k, co zostało wypisane w postaci założenia (1). Rozumiemy (?) więc, że prawdziwa jest nierówność (3) L > [(k+1)!]^k. [(2(k+1)]! To nas jednak nie zadowala (cały czas zezujemy na prawą stronę tezy (2), a tam jest [(k+2)!]^k+1. W wykładniku potęgi jest o jedno "k" za mało. No to trzeba zauważyć, że [2(k+1)]! = 1^.2^.3^.4^. ...^.(k+1)^.(k+2)(k+3)^. ... ^.(2k+2) = = (k+1)!^.(k+2)(k+3)^. ... ^.(2k+2) W nierówności (3) mamy więc: L > [(k+1)!]^k. (k+1)!^.(k+2)(k+3)^. ... ^.(2k+2) Udało się, podwyższyliśmy o 1 wykładnik potęgi. L > [(k+1)!]^k+1.(k+2)(k+3)^. ... ^.(2k+2) Teraz jeszcze żeby w nawiasie było (k+2), a nie (k+1). A to już wytłumaczyłem 8 stycznia o 23:46 kolorową kredą i na biletach tramwajowych. Lepiej już nie umiem, ale za to przypomina mi się anegdota o Antku, który pytał bacę, jak ten świat jest zbudowany.

nick237: dzięki! takiemu motkowi jak ja ciężko coś wytłumaczyć ale zdaje się że jest już ok

nick237: dostałem za to zadanie 4 punkty na 10

PW: Składasz reklamację, chwalisz się, czy jesteś zły, że nie wszystko zdołałeś przelać na papier?

Mateusz: Widocznie narobiłeś błędów albo nie zrozumiałeś do końca sensu indukcji matematycznej albo nie dokonczyłes albo przepisałes robiąc przy tym błędy nie wiemy dlaczego tylko tyle punktow dostałes nie jestesmy twoimi egzaminatoami i nie sprawdzalismy twojej pracy to naprawde nie jest jakas wielka filozofia a narzędzie jest potęzne i przydatne np w informatyce przy analizie algorytmów najpierw sprawdzasz prawdziwosc twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej a nastepnie dowodzisz prawdziwosc implikacji T(n)=>T(n+1)