Obliczyć granicę Magda: lim x→∞ (√ 2x² + 4 − √ 2x² + 2 )

Nienor: podobnie jak w ciągach:

	a−b
√a−√b=
	√a+√b

Magda: jesli dochodze do momentu

	2
lim x→∞		to już mogę zapisać że ta granica wynosi 0 ?
	√2x2+4+√2x2+2

aniabb: tak

Magda: a taką

	√2x+1 − √2x+2
lim x→∞
	√x+4 − √x+3

masz jakiś pomysł na to ?

Artur_z_miasta_Neptuna: analogicznie do poprzedniego

Artur_z_miasta_Neptuna:

a−b		a2−b2		c+d
	=		*
c−d		a+b		c2−d2

Magda: próbowałam i nie wychodzi

Artur_z_miasta_Neptuna:

	(2x+1) − (2x+2)		√x+4 + √x+3
... =		*		=
	√2x+1+√2x+2		(x+4) − (x+3)

	−1		√x+4 + √x+3
=		*		=
	√2x+1+√2x+2		1

	−(√x+4 + √x+3)
=		−> ....
	√2x+1+√2x+2

Magda: no doszłam do tego i co dalej ?

Artur_z_miasta_Neptuna: granica dla x−> +∞ ;>

Artur_z_miasta_Neptuna: to podziel licznik i mianownik przez √x (najwyższa potęga 'x')

Magda: no własnie nie widzę jakoś tego ...

Magda: okej już wiem o co chodzi, dziękuję bardzo !

Magda: a masz pomysł jak zbadać zbieżność szeregu ∞

	n+1
∑
	n2+5

n=1

Magda: jakoś z kryterium porównawczego ?

Artur_z_miasta_Neptuna: porównawcze to jedno z najrzadziej używanych może z D'Alemberta z porównawczego też Ci wyjdzie ... ale trzeba się trochę 'napocić' aby odpowiednio ten szereg oszacować z dołu

Magda: z d'Alemberta wyszło mi g =1 więc to chyba nic nie daje prawda ?

Artur_z_miasta_Neptuna: no dobra ... porównawcze kryt.

	c
sądzimy, że szereg ten będzie oszacowany z dołu przez ∑		; gdzie c>0 ;c=const
	n

dla n≥5 zachodzi:

n+1		n+1		n+5 −4		1		4
	≥		=		=		−
n2+5		n2+5n		n2+5n		n		n2+5n

czyli licząc szereg od n=5

	n+1		1		4
∑		≥ ∑		− ∑		= +∞
	n2+5		n		n2+5n

czyli szereg jest rozbieżny

Magda: a dlaczego liczymy raptem od 5 ? nic nie rozumiem z tego, nie robilismy nigdy w taki sposób ...

Krzysiek: ale Artur utrudniasz

n+1		n
	≥
n2 +5		n2 +5

n² +5≤n² +5n²=6n² czyli:

n		n		1		1		1
	≥		=		=		*
n2 +5		6n2		6n		6		n

Artur_z_miasta_Neptuna: tfu tfu tfu ... źle oszacowanie chciałem zrobić tak:

n+1		n+1
	≥		dla każdego n≥5 (chyba nie musze tlumaczyć dlaczego)
n2+5		n2+n

n+1		1
	=
n2+n		n

	n+1		1
∑		≥ ∑		<−−− ale tutaj szeregi sumujemy właśnie od elementu n=5
	n2+5		n

a tak ładniej to byśmy napisali:

	n+1		n+1		n+1
∑n=1		= ∑n=1n=4		+ ∑n=5		≥
	n2+5		n2+5		n2+5

	n+1		1		1
∑n=1n=4		∑n=5		= c + ∑n=5		<−−−rozbieżny
	n2+5		n		n

Magda: to jakieś zbyt skomplikowane chyba zawsze normalnie jakoś szacowalismy i byl wynik a tu nie rozumiem

Magda: @Krzysiek, czyli jest rozbieżny z Dirichleta tak ?

Magda: a macie jakiś pomysł na ten szereg ? ∞

	2n+3
∑
	5n+10

n=1 Liczyłam z d'Alemberta i wychodzi niestety g = 1

Magda: ?

Krzysiek: poprzednie zadanie rozbieżny na mocy kryterium porównawczego a tutaj zacznij od zbadania warunku koniecznego(prawie zawsze od niego zaczynasz jak jesteś wstanie policzyć granicę)

Magda:

	2
czyli lim n→∞ an =		i nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu więc
	5

szereg jest rozbieżny tak ?

Krzysiek: tak

Magda: a może masz jakiś super pomysl na ten szereg ( już ostatni ) ∞

	(−1)n
∑
	2n + 5

n=1

Krzysiek: kryterium Leibniza

Magda: tego niestety nie umiem nie da się inaczej ?

Krzysiek: nie da się. możesz co najwyżej zbadać zbieżność bezwzględną z kryterium porównawczego, ale warunkową tylko z Leibniza.

Magda: no chyba nie jest zbieżny bezwzględnie czyli mam sprawdzać czy a_n+1 − a_n < 0 i czy lim n→∞ a_n = 0 tak ? i jak to będzie spełnione to jest zbieżny warunkowo ?

Krzysiek:

	1
tak, tylko an =
	2n+5

Magda: okej, w takim razie jest zbieżny warunkowo

Magda: ∞

	1
a jak szybko pokazać, że ∑		nie jest zbieżny ?
	2n+5

n=1

Artur_z_miasta_Neptuna: porównawcze

1		1		1		1		1
	≥		=		=		*
2n+5		2n + 5n		7n		7		n