? Magda: Jak udowodnić indukcyjnie, że Jeśli a₁ = 3 oraz a_n+1=a_n + 2n + 3 to a_n=n² + 2n

Magda: ? jakieś wskazówki ?

Vax: Sprawdzasz n=1, założenie no i teza a_n+1 = (n+1)²+2(n+1) ⇔ a_n+2n+3 = n²+4n+3 ⇔ a_n = n²+2n co jest prawdą z założenia indukcyjnego, qed.

Magda: nic nie rozumiem.... możesz mi to jakoś krok po kroku wytłumaczyć ?

Magda: ?

PW: Zasada indukcji zastosowana w praktyce polega na tym, że trzeba: 1. Sprawdzić prawdziwość wzoru dla n=1 2. Założyć prawdziwość dla pewnej n=k (nie wskazując jej konkretnie) 3. Korzystając z założenia udowodnić prawdziwość wzoru dla liczby następnej po k, czyli dla n=k+1. Dowód. Dla n=1 mamy a₁=3 według założenia początkowego i a₁ = 1²+2^.1 = 3 według sugerowanego wzoru. Wzór jest więc prawdziwy dla n=1 (nie musieliśmy wykorzystywać dalszej części założenia). Formalnie nie trzeba, ale sprawdźmy jeszcze prawdziwość dla n=2: zgodnie z formułą budowania kolejnych wyrazów jest a₂=a₁+2^.1+3 = 3+2+3=8, a według sugerowanego wzoru a₂=2²+2^.2 = 8. Warto się parę razy pobawić w ten sposób, żeby oswoić się z sensem tego o co pytają. Założenie indukcyjne. Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej k wzór jest prawdziwy, to znaczy (1) a_k = k² + 2k. Teza indukcyjna. Wzór jest prawdziwy dla liczby następnej po k, to znaczy (2) a_k+1 = (k+1)² + 2(k+1). Dowód. (k+1)² + 2(k+1) = k²+2k+1+2k+2 = (k²+2k) + 2k+3. Zgodnie z założeniem indukcyjnym wyrażenie w nawiasie jest równe a_k, mamy więc (k+1)² + 2(k+1) = a_k +2k +3, a to jest a_k+1 zgodnie z regułą tworzenia kolejnych wyrazów podaną w treści zadania. Podsumowanie. Wzór jest prawdziwy dla n=1 i z założenia (1) jego prawdziwości dla n=k wynika jego prawdziwość (2) dla n=k+1. Krok indukcyjny powiódł się, wzór jest prawdziwy dla wszystkich n∊N. Vax pokazał Ci najważniejsze, ale w wielkim skrócie, więc postarałem się jak dla początkujących. Za karę sprawdź, co oznacza "qed" (łacina).

Magda: Quod erat demonstrandum − co było do udowodnienia dziękuję!

Eta: