TRYGONOMETIRA PAZDRO 5.30 Alois~: wyznacz zbiór wartości funkcji (pełne rozwiązanie. ): 1)=tgx+ctgx

	x
2)y=cosx + cos
	2

	π		π
3)y=sin(x−		) + sin(x+		)
	6		6

próbowałam zacząc ale nie wiem co jak

	π
1)zapisałam że y = tgx + tg(		−x) i na tym się kończy moje super myślenie
	2

	3x		x
2)y= 2 cos		cos		( o ile to jest poprawne i tez dalej nie wiem jak ruszyć )
	4		4

ZKS: Zrobię 3).

	π		π		π		π
sin(x −		) + sin(x +		) = 2sin(x)cos(−		) = 2sin(x)cos(		) =
	6		6		6		6

	√3
2sin(x) *		= √3sin(x)
	2

Tak więc zbiór wartości to ZW = [−√3 ; √3]

Eta:

	x
2/ cosx= 2cos2
	2

	x		x		x
f(x)= 2cos2		+cos		−1 , podstawienie cos		=t , t€ <−1,1>
	2		2		2

g(t)= 2t²+t−1 −−−wykresem jest parabola ramionami do góry

	−1
tw=		∊<−1,1>
	4

	1		1		1		9
dla f(−		)=		−		−1= −		−−− y(min)
	4		8		4		8

f(−1) =.... =0 f(1)= ... =2 −− y(max)

	9
to ZW= < −		, 2>
	8

PW: Zadanie 1.

	π
Trzeba zauważyć, że suma tgx+ctgx daje sie poprawnie zdefiniować na przedziale (0,		) i na
	2

przedziale. Szukając zbioru wartości wystarczy ograniczyć się do tych dwóch przedziałów, dla pozostałych x należących do wspólnej dziedziny obu funkcji wartości powtarzają się ze względu na okresowość obu funkcji. Ponieważ

	sinx		cosx		sin2x+cos2x		2
tgx+ctgx =		+		=		=		=
	cosx		sinx		sinxcosx		2sinxcosx

	2
=		.
	sin2x

	π
na przedziale (0,		) mamy 0<2x<π, a więc 0<sin2x<sinπ, czyli 0<sin2x≤1
	2

Uwaga.Przy ostatnich dwóch nierównościach nie korzystamy z monotoniczności funkcji sinus, ale z tego, że jej największą wartością jest 1.

	π
Wobec tego dla x∊(0,		) spełniona jest nierówność
	2

	sin2x		1
0<		≤		, skąd
	2		2

	2
∞>		≥2,
	sin2x

	π
czyli tgx+ctgx ∊ <2,∞) dla x∊(0,		).
	2

	2		π
Podobnie trzeba rozważyć wartości funkcji		dla x∊(−		, 0).
	sin2x		2

PW:

	π
W pierwszym zdaniu zżarło mi przed kropką (−		, 0).
	2