Pomocy Hania: Udowodnij, że... a) jeżeli a≥b to √a+b+2√ab − √a+b−2√ab =2√b (podpowiedzią jest aby użyć wzoru skróconego mnożenia lub podnieść to do kwadratu) b) jeżeli n∊N to n²+n jest parzysta C) jeżeli n∊N to (n+1)²−n² jest nieparzyste

Artur_z_miasta_Neptuna: a) skoro masz podpowiedź ... to czemu nie zrobisz tego b) 1^o niech n parzyste ... czyli n=2k wtedy (2k)² + 2k = 4k² + 2k = 2(2k²+k) = 2m ... czyli parzysta 2^o niech n nieparzyste ... czyli n=2k+1 wtedy (2k+1)² + (2k+1) = 4k² + 4k + 1 + 2k + 1 = 2(2k² + 3k + 1) = 2m ... czyli parzysta c) 'analogicznie' co (b)

zośka: po podniesieniu do kwadratu: a+b+2√ab−2√a+b+2√ab*√a+b−2√ab+a+b−2√ab=4b 2a+2b−2√(a+b)²−4ab=4b 2a+2b−2√(a−b)²=4b 2a+2b−2(a−b)=4b 4b=4b

Mila: 1)zał. ? napisz a+b+2√ab=(√a+√b)² a+b−2√ab=(√a−√b)² √(√a+√b)²−√(√a−√b)²=√a+√b−√a+√b=2√b

PW: @Hania: Ucz się od Mili i nie słuchaj złych podpowiedzi typu "podnieś stronami do kwadratu" (nawet jeśli podpowiada to Twój nauczyciel). Popatrz: 2x = −4 Bardzo porządne równanie, które ma jeden pierwiastek x₁ = −2, Gdybyś próbowała je rozwiązać słuchając podszeptu szatana: "podnieś stronami do kwadratu", to dostaniesz 4x² = 16. Tyż bardzo porządne równanie, ino ma dwa pierwiastki: x₁ =−2 i x₂ = 2. Jeżeli coś podnosisz stronami do kwadratu, to trzeba mieć pewność, że obie strony są nieujemne, a zazwyczaj nie pamięta się, żeby to napisać. Przykładem jest dowód zośki − ani słowa o tym. Tak naprawdę to dowód ten można streścić następująco: jeśli podany wzór jest prawdziwy, to 4b=4b. Nie to mieliśmy udowodnić, lecz "jeśli a≥b, to wzór jest prawdziwy".

Basia: akurat w tym równaniu obie strony są nieujemne i w takim razie można podnieść obustronnie do kwadratu; to, że są nieujemne jest dość oczywiste, skoro a,b≥0, a muszą być skoro √a i √b istnieją P = 2√b≥0 L ≥0 bo a+b+2√a√b > a+b−2√a√b co wcale nie znaczy, że mnie się te dowody podobają długo nie mogłam się przyzwyczaić, bo nie mogłam "załapać" co właściwie udowodniono sprowadzając np. do postaci 4b=4b wreszcie dotarło do mnie, że tu chodzi o sprowadzenie przez równania równoważne do tożsamościowego, co z formalnego punktu widzenia dowodzi prawdziwości równania początkowego takie zalecenia wyprodukowała komisja programowa, bo podobno dowody a contrario to jest coś dla normalnego ucznia absolutnie nie do przyswojenia

AC: PW coś nie do końca tak jest jak piszesz. implikacja 2x = −4 ⇒ 4x² = 16 jest prawdziwa dla każdego x ale równoważność 2x = −4 ⇔ 4x² = 16 będzie tylko wtedy gdy x < 0

Basia: formalnie równoważność 2x = −4 ⇔ 4x²=16 jest fałszywa prawdziwa jest równoważność 2x = −4 ⇔ [ 4x²=16 ∧ x<0 ] a na to najczęściej uczniowie już nie zwracają uwagi stąd potem pierwiastki obce i błędne rozwiązania

AC: Zgoda, ale bardziej ścisle to: 2x = −4 ⇔ [4x²=16 ∧ x≠2]

PW: AC: Nie rozumiemy się, ja nie pisałem, jak to powinno być, ale jakie błędy popełnia się przy tego rodzaju operacjach, gdy zapomina się o założeniach.

Hania: Dziękuje wam bardzo serdecznie mam nadzieje że coś z tego zostanie w mojej głowie szczególnie przed maturą