? Patryk: sin5x+sinx=0 jak ?

Artur z miasta Neptuna: Sin5x = −sinx sin5x = sin(−x)

Patryk: no ale wtedy 0=0, nie rozumiem

Artur z miasta Neptuna: To moze inaczej sin(5x) = sin (x +4x) = .... I rozkladasz dalej ... pozniej patrzysz co sie da wylaczyc przed nawias

Patryk: pokombinuje

ZKS: Po prostu. sin(5x) + sin(x) = 0 sin(5x) = −sin(x) 5x = −x + k * 2π ∨ 5x = π + x + k * 2π

Patryk: sinx*cos4x+cosx*sin4x+sinx i teraz dalej cos4x i sin4x rozkładać ?

Patryk: skąd mam wiedzieć ,ze trzeba tak zapisać 5x = −x + k * 2π ∨ 5x = π + x + k * 2π

ZKS: Wyżej napisałem jeden ze sposobów. Można też wykorzystać wzór

	x + y		x − y
sin(x) + sin(y) = 2sin(		)cos(		).
	2		2

ZKS:

	1
A jak rozwiązujesz równanie sin(x) =		?
	2

Patryk: tak ,ale dodam ,ze wczoraj zacząłem się tego uczyć (tak wiec wiadomo)

ZKS: To teraz wiesz skąd co się wzięło czy nie za bardzo?

Patryk: może tak , wiem dlaczego tak ,ale nie wiem dlaczego tak a nie inaczej

ZKS:

	1
To tak samo jak byś rozwiązywał zwykłe równanie typu sin(x) =
	2

	π		π
x =		+ k * 2π ∨ x = π −		+ k * 2π.
	6		6

Można to zapisać ogólnie sin(x) = sin(y) x = y + k * 2π ∨ x = π − y + k * 2π. Wiesz czy jeszcze nie za bardzo?

Patryk: teraz wiem

Patryk: to opuszczanie sinusa to podobnie jak logarytm np logx=log(x²+3) x=x²+3 ?

ZKS: Można by tak powiedzieć tylko że sinus nie jest różnowartościowy i wartości powtarzają się o jakiś okres.

Patryk: dlatego tam jest k * 2π

Patryk: x = π−y + k * 2π. to drugie rozwiązanie to ta metoda z przedziałami równej długości (Jakub na stronie często rozwiązuje równania to metodą)

Patryk: ?

ZKS: Tak 2π to nasz okres i wartości będą się powtarzały co 2π a k to nasza liczba całkowita.

ZKS: To π − y się wzięło ze wzorów redukcyjnych sin(x) = sin(π − x).

Patryk: ok

Patryk:

	π
cosx−cos(x+		)=0
	3

	π
cosx=cos(x+		)
	3

	π		π
x=x+		+2πk∨ x=π−(x+		)+2πk
	3		3

	π
x=		+πk
	3

ok ?

ZKS: Ale to x = π − y już nie tyczy się cosinusa ponieważ cos(π − x) = −cos(x)! Dla cosinus mamy taki schemat rozwiązania. cos(x) = cos(y) x = y + k * 2π ∨ x = −y + k * 2π Ponieważ cosinus jest funkcją parzystą to mamy cos(−x) = cos(x).

Patryk: dzięki

ZKS: Proszę.

Patryk: a takie sinx+cosx=1 ?

ZKS:

	1
Przemnóż obydwie strony równania przez		.
	√2

Patryk: zrobiłem

ZKS: Już zrobiłeś zadanie czy pomnożyłeś?

Patryk:

	π
a może cos(		−x)=sinx ?
	2

Patryk: tylko pomnożyłem

ZKS: Jeżeli chcesz to próbuj może Ci się uda zrobić.

Patryk: a jest szansa ,ze się uda ?

ZKS: Jest.

Patryk: ok to próbuje

Patryk: sinx+cosx=1 ()² sin²x+2sinxcosx+cos²x=1 2sinxcosx=0 sin2x=0 2x=t sint=0 t=πk 2x=πk

	πk
x=
	2

dlaczego tak jest źle ?

ZKS: Dam przykład dlaczego jest źle. x = 1 / ² x² = 1 ⇒ x = ±1 Ale przecież na początku jasno mamy że x = 1 a my dostajemy jeszcze x = −1.

Patryk: ok

Basia: bo to chodzi tylko w jedną stronę: a+b = 1 ⇒ (a+b)² = 1 ale w drugą nie: nieprawdą jest, że (a+b)² = 1 ⇒ a+b = 1 (może być a+b= −1) czyli te równania nie są równoważne sinx+cosx = 1 ⇔ (sinx+cosx)² = 1 ∧ sinx+cosx ≠ −1

Patryk: dalej nie wiem jak zrobić sinx+cosx=1

Eta: To równanie zachodzi ⇔ sinx=0 i cosx=1 v sinx=1 i cos x=0

	π
czyli dla x= k*2π v x=		+k*2π , k€C
	2

Można wykazać,że innych rozwiązań nie ma , tak:

	x		x
sinx= 2sin		*cos
	2		2

	x
i 1−cosx= 2sin2		ze wzoru na cos2α= 1−2sin2α ⇒ 2sin2α= 1−cos2α
	2

	x		x		x
i mamy: 2sin		*cos		= 2sin2		/:2
	2		2		2

	x		x		x
sin		(cos		−sin		)=0
	2		2		2

	x		x		x
sin		=0 v sin		= cos
	2		2		2

	x		x		π
		= 0+k*π v		=		+k*π
	2		2		4

	π
x= k*2π v x=		+k*2π , k€ C
	2

i bingo

Patryk: dzięki

Patryk: mam takie 2cos²x+4sin²x=3 2cos²x+4(1−cos²x)=3 −2cos²x=−1

	1
cos2x=
	2

	√2		√2
cosx=		∨ cosx=−
	2		2

	π		3π
x=−		+2πk x=		+2πk
	4		4

	π		5π
x=		+2πk x=		+2πk
	4		4

a w odpowiedziach mam tylko

	π
x=−		+2πk
	4

	π
x=		+2πk
	4

i nie wiem

Eta:

	3		5
Skąd wziąłeś te rozwiązania:		π i		π ?
	4		4

odp: w podręczniku jest poprawna

Eta: takie by były dla sinusa !

Patryk: https://matematykaszkolna.pl/strona/1584.html zobacz

Patryk: stąd

Eta: Ja rozwiązuję tak:

	√2
cosx= −
	2

	π
xo= −
	4

x= x_o+2kπ v x= −x_o +2kπ

	π		π		π
to: x= −		+2kπ v x=− (−		)+2kπ=		+2kπ , k€C
	4		4		4

i tak samo:

	√2
cosx=
	2

	π
xo=
	4

x= x_o+2kπ v x= −x_o+2kπ x= ... otrzymasz te same rozwiązania

Patryk: ale jak mogą być takie same przecież cosx nie przyjmuje takich samych argumentów dla wartosci

	√2		√2
		−
	2		2

Patryk: może wartości dla argumętów

Eta: http://www.zadania.info/d256/2489029 Zobacz ile masz sposobów

Patryk: full hd i w 3D dzieki