dowody bezendu1990: Kilka dowodów:

	ab
1)wykaż że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi to		≥√ab
	2

to robię tak

ab
	≥√ab/ *2
2

a+b≥2√ab a+b−2√ab≥0 / ² a²+b²−2ab≥0 (a−b)²≥0 P.S mam pisać założenia że a >O ⋀ b>0 i czy to jest dobrze ? i czy mam podstawić jakieś liczby żeby to pokazać

bezendu1990: wykaż że suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu a³+b³>0 (a+b)(a²−ab−b²)>0

PuRXUTM: mi raz kolega mówi że na korkach mu mówił gościu że powinno być tak a+b−2√ab≥0 (√a−√b)²≥0 no i każde wyrażenie do kwadratu to liczba ≥0 moim zdaniem to jest to samo co Ty masz, ale ten gościu mówił jakoś że jak by to robić od tyłu to podobno się nie da, nie wiem o co mu chodzi ale pewnie ma racje, bo on chyba w Krakowie ma coś doczynienia z maturami, nie wiem czy poprawia czy pisze matury... to tyle mojej rozprawki

bezendu1990: ok dzięki a ten drugi zobacz

Ingham: odnośnie pierwszego to patrz na treść zadania i założenia są takie: a,b ≥ 0 Zad 2. a,b > 0, a ≠ b a³ + b³ > ab(a+b) (a+b)(a² − ab + b²) > ab(a+b) (a+b)(a² − ab + b²) − (a+b)ab > 0 (a+b)(a² − ab + b² − ab) > 0 (a+b)(a² − 2ab + b²) > 0 (a+b)(a − b)² > 0 a i b dodatnie, więc na pewno a + b > 0, można obustronnie podzielić (a−b)² > 0 a ≠ b, więc i to zachodzi

bezendu1990: aha czyli nie muszę nic podstawiać a za drugie dziękuje

Ingham: nic nie trzeba, wypada dodać komentarz w stylu: kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej zawsze jest nieujemny, ckd. (co kończy dowód) i tyle

bezendu1990: tylko możesz mi powiedzieć gdzie wyparowało (a+b) w 4 linijce przeniosłeś ab to ok ale (a+b)

Ingham: wyłączyłem (a+b) przed nawias, zastosowałem coś w stylu: xy−xz = x(y−z) u nas nasze x = a+b, y = a² − ab + b², z = ab

bezendu1990: a no tak sorry za głupie pytanie

PW: Ten „gościu” ma rację, przecież bezendu1990 przekształcasz tezę, zamiast wyciągać wnioski z założenia. Podam przykład. Twierdzenie „Jeżeli liczba dzieli się przez 2, to dzieli się przez 4” jest ewidentnie fałszywe. A rozumując tak jak wyżej można by było np. przeprowadzić taki wywód: Aha, liczba dzieli się przez 4, no to dzieli się przez 2. Zdanie prawdziwe. Fajnie, koniec dowodu. Tylko dowodu czego? Twierdzenia odwrotnego! Celowo piszę banalne rzeczy, żeby pokazać, jak niebezpieczny jest sposób dowodzenia twierdzeń "wychodząc od tezy". Można tak robić, jeżeli ma się pewność, że wszystkie kolejne wypowiadane zdania są równoważne. U bezendu ani słowa o tym, więc dowód można kwestionować jako wadliwy logicznie. Zamiast udowodnić p⇒q udowodnił q⇒r (to, że r jest prawdą, wcale nie oznacza, że p jest prawdą). Generalnie jeżeli coś udowodniłeś, a nie korzystałeś z założenia, to można być prawie pewnym, że dowód zawiera luki w rozumowaniu.

bezendu1990: wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność a²+b²+c²≥ab+ac+bc a²+b²+c²≥ab+ac+bc a²+b²+c²−ab−ac−bc≥0 / *2 2a²+2b²+2c²−2ab−2ac−2bc≥0 i teraz rozpisuje a²+a²+b²+b²+c²+c²−2ab−2ac−2bc≥0 (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²≥0 dobrze czy nie potrzeba rozpisywać

bezendu1990: wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność a²+b²+c²≥ab+ac+bc a²+b²+c²≥ab+ac+bc a²+b²+c²−ab−ac−bc≥0 / *2 2a²+2b²+2c²−2ab−2ac−2bc≥0 i teraz rozpisuje a²+a²+b²+b²+c²+c²−2ab−2ac−2bc≥0 (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²≥0 dobrze czy nie potrzeba rozpisywać

bezendu1990: @PW to mógłbyś przedstawić swoją wersje tego dowodu

bezendu1990:

bezendu1990:

Maslanek: Uzasadnienie czemu tak jest i jest w porządku

bezendu1990: ale to pierwsze zobacz PW mówi że to jest źle ;>

daniello: W tym pierwszym zadaniu to napisales sae bzdury... dziwie sie ze nikt na to nie zwrocil uwagi. Pomijam fakt ze to jest niespojne, przyklad:

ab
	≥√ab /*2
2

a+b≥2√ab Skad z a*b powstalo a+b? Dalej: a+b − 2√ab≥0 / ² (a+b−2√ab)²≥0 a nie to co ty napisales, nie mozesz sobie potegowac kazdej liczby oddzielnie. Taki przyklad ilustrujacy: 2+3>4 /² 4+9>16 co jest nieprawda. Oczywiscie powinno byc 5²>4² co juz sie zgadza.

bezendu1990:

a+b
	≥√ab taki powinien być zapis
2

daniello: Dodalbym jeszcze fakt ze nawet jak potegowales oddzielnie to tez popelniles blad: (2√ab)²=4ab a nie 2.

bezendu1990: nadrabiam braki z rozszerzenia i dlatego sie pytam inaczej bym się nie pytał

bezendu1990: to możesz przedstawić ten dowód krok po kroku

ZKS: bezendu1990 masz źle bo (a + b − 2√ab)² ≠ a² + b² − 2ab

bezendu1990: że to jest żle to już wiem to jak zapisac to poprawnie

kylo1303: heh... ja to wiem, problem w tym ze ty nie wiesz jak sie poteguje stronami. (a + b − 2√ab)² −> to jest to co powinienes otrzymac po spotegowaniu, poprawne a²+b²−2ab −> to jest to co otrzymales ty, niepoprawne

ZKS: Na pewno tak wygląda ta nierówność?

ab
	≥ √ab
2

bezendu1990:

	a+b
nie wygląda tak		≥√ab napisałem wyżej
	2

kylo1303: Z: a≥0 i b≥0

	a+b
T:		≥ √ab
	2

a+b≥2√ab a − 2√ab + b ≥ 0 (√a)² − 2 * √a * √b + (√b)² ≥0 −> tutaj trzeba dac komentarz, ten krok mozemy zrobic bo a i b moga znajdowac sie pod pierwiastkiem (sa ≥0) (√a−√b)² ≥ 0 co jest prawda bo kwadrat liczby jest nieujemny.

ZKS:

a + b
	≥ √ab
2

a + b ≥ 2√ab a + b − 2√ab ≥ 0 √a² − 2√ab + √b² ≥ 0 (√a − √b)² ≥ 0

bezendu1990: ok dzięki "niewidoczny" a możesz sprawdzić pozostałe dowody

ZKS: kylo1303 nic nie trzeba dawać aby liczby znajdowały się pod pierwiastkiem bo z treści wynika że są to liczby nieujemne.

ZKS: Przekształcenia tylko teraz musisz dać komentarz wyjaśniający dlaczego to jest większe bądź równe 0.

kylo1303: Moim zdaniem powinno sie. To jest nasze zalozenie i dobrze byloby zapisac ze ten krok robimy na mocy zalozenia. Na pewno nie zaszkodzi. Bo nie jest to operacja ktora mozemy wykonac zawsze. Tym bardziej jak chlopak przygotowuje sie do jakiejs matury czy cos to lepiej niech pisze takie rzeczy.

bezendu1990: ok dziękuje

ZKS: Ostatecznie można zrobić tak jak robiłeś na początku tylko że to tak jak w polskim stylistycznie niepoprawnie natomiast dowód na maturze powinien zostać uznany za poprawny oczywiście chodzi mi o zadanie pierwsze.

a + b
	≥ √ab
2

a + b ≥ 2√ab / ² (a + b)² ≥ 4ab a² + 2ab + b² − 4ab ≥ 0 a² − 2ab + b² ≥ 0 (a − b)² ≥ 0 Teraz komentarz dlaczego jest to nie mniejsze od 0.

ZKS: To można napisać z założenia wiemy że te liczby są nieujemne jeżeli chcemy na uparciucha.

bezendu1990: ZKS masz jeszcze chwile

bezendu1990: komentarz każda liczba podniesiona do ² da liczbę dodatnią

ZKS: Źle a wiesz czemu bo 0² da Ci 0 więc nie jest to liczba dodatnia.

ZKS: Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną.

bezendu1990:

	3
wyznacz zbiór A'∩B jeżeli A={m∊R:		≤1} i B={m∊R: m3+8≤ 2m2+4m}
	m−2

3
	≤1 Df=m∊R\{2}
m−2

3
	−1≤0
m−2

3		m−2
	−		≤0
m−2		m−2

3−m+2		5−m
	=		≤0
m−2		m−2

(5−m)(m−2)≤0 m∊(−∞,2)∪<5,∞) A'=m∊<2,5) m³+8≤2m²+4m m³+8−2m²−4m≤0 m³−2m²−4m+8≤0 m²(m−2)−4(m−2)≤0 (m−2)(m²−4)≤0 (m−2)(m−2)(m+2)≤0 (m−2)²(m+2)≤0 m∊(−∞,2> A'∩B={2} nie wiem czy mam dobrze przedziały w tym pierwszym równaniu zrobiłem (−∞,2)∪<5,∞) bo dziedzina wyklucza 2 ale nie wiem czy to jest dobrze

ZKS: W drugim masz zły przedział.

bezendu1990: (−∞,−2>∪{2} a no tak bo jest ≥

ZKS: Teraz jest .

bezendu1990: a rozwiązanie koncowe też ok czyli jak dziedzina to otwieram przedział

ZKS: Skoro nie należy do naszej dziedziny jakiś element lub zbiór elementów to z rozwiązania trzeba wyrzucić te elementy które nie należą do dziedziny ponieważ gdybyśmy ich nie wyrzucali z rozwiązania to funkcja dla tych elementów nie miała by sensu liczbowego.

ZKS: Więc Twoje rozwiązanie według mnie jest poprawne.

bezendu1990: ok dzięki to już wszystko na dziś

ZKS: Czyli jestem wolny już?

ZKS: Proszę.

bezendu1990: tak dzięki wielki liczę na Ciebie jutro

ZKS: Nie ma za co proszę bardzo.

bezendu1990: Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p²−1 jest podzielne przez 24 ZKS pomożesz

Basia: p²−1 = (p−1)(p+1) p jest pierwsza ⇒ p−1 i p+1 są parzyste ⇒ (p−1)(p+1) jest podzielne przez 4 brakuje nam do szczęścia podzielności przez 6 p jest pierwsza ⇒ nie może być podzielna przez 6 czyli może być p = 6k+1 p = 6k+2= 2(3k+1) odpada bo to nie jest liczba pierwsza p= 6k+3 = 3(2k+1) odpada bo to nie jest liczba pierwsza p = 6k+4=2(3k+2) odpada bo to nie jest liczba pierwsza p = 6k+5 p = 6k+1 ⇒ p²−1 = (p−1)(p+1) = 6k(6k+2) = 12k(3k+1) a jedna z liczb k lub 3k+1 musi być parzysta czyli 12k(3k+1) jest podzielna przez 24 p = 6k+5 ⇒ p²−1 = (p−1)(p+1) = (6k+4)(6k+6) = 2(3k+2)*6(k+1) = 12(k+1)(3k+2) ponieważ 3k+2 = 3(k+1)−1 to jedna z liczb k+1 i 3k+2 musi być parzysta czyli 12(k+1)(3k+2) jest podzielna przez 24

bezendu1990: Dziękuje Basiu

bezendu1990: Wykaż, że n⁷−n jest podzielne przez 7 n(n⁶−1)= =n(n³)²−1)= =n(n³−1)(n³+1)= =n(n−1)(n²+n+1)(n+1)(n²)(n²−n+1) i co dalej nie robiłem tego nigdy bo mam poziom podstawowy a chciałbym nauczyć się rozwiązywać zadania tego typu więc prosiłbym krok po kroku

Eta: zauważ,że n²+n+1= (n+3)(n−2)+7 i n²−n+1= (n−3)(n+2)+7 podstaw i ........ bingo

bezendu1990: ale co mam podstawić

Eta: n⁷−n= n(n−1)(n+1)(n²+n+1)(n²−n+1) =........

bezendu1990: nadal pustak

Eta: (n−1)*n*(n+1)[(n+3)(n−2)+7]*[(n−3)(n+2)+7]= (n−3)(n−2)(n−1)*n(n+1)(n+2)(n+3)*[ .................. ] = 7*k, k€C iloczyn kolejnych siedmiu liczb jest podzielny przez 7

bezendu1990: dziękuje a ja robiłem trochę inaczej zaraz wstawie swoje obliczenia sprawdzisz

bezendu1990: n²−n+1 n=7k+3 (7k+3)²−7k−3+1=49k²+42k+9−7k−4= =49k²+35k+7=7(7k²+5k+1)

bezendu1990: Eta możesz sprawdzić

bezendu1990: podbijam

ZKS: Nie rozumiem totalnie tego zapisu. Czemu tylko sprawdzasz dla kawałka tego wyrażenia czyli dla n² − n + 1 i tylko dla liczby n = 7k + 3?

bezendu1990: własnie nie wiem jak to robić i robiłem tak jak potrafię...

ZKS: Jeżeli chcesz sprawdzasz to za n w wyrażeniu n(n⁶ − 1) postawiasz liczby postaci 7k ; 7k + 1 ; 7k + 2 ; 7k + 3 ; 7k + 4 ; 7k + 5 ; 7k + 6 ponieważ liczba podzielona przez 7 może dać nam resztę równą 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. (oczywiście liczby postaci 7k nie warto sprawdzać bo wiadomo że jest podzielna przez 7)

Eta: No właśnie

Eta: Można wykazać też indukcyjnie

ZKS: Jak kto woli chyba że autor zna małe twierdzenie Fermata to będzie jeszcze łatwiej.

bezendu1990: nie znam tego twierdzenia Fermata

bezendu1990: 100 stron A4 małe twierdzenie

ZKS: Dasz radę ogarnąć.

bezendu1990: słowo "postaram się" nabiera innego znaczenia w tym przypadku