ANALIZA MATEMATYCZNA OLA: Jak to zrobić? korzystając z def granicy ciągu wykazać, że: 1) lim = ⁿ²⁺¹_n = +∞ 2) lim = ²ⁿ⁺³_3n−4= ²₃ 3) lim = (1−√n) = −∞

OLA: prosze o pomoc

PW: Mówi się, że ciąg a_n ma granicę +∞, jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu przeskoczą dowolnie wysoki płot, to znaczy dla dowolnej liczby M>0 istnieje taka k∊N, że wyrazy o numerach większych od k są większe niż M: a_n > M dla n>k. Trzeba więc rozwiązać nierówność

	n2+1
(*)		> M.
	n

n²+1 >Mn n²−Mn+1 >0 Δ = M²−4^.1^.1 = M²−4. Zakładamy, że M>4, bo przecież idzie o to, żeby dla dowolnie dużych M wyrazy ciągu były jeszcze większe, jest to więc zwykła nierówność kwadratowa o dwóch pierwiastkach, przy czym my szukamy n∊N, a zatem interesuje nas tylko pierwiastek dodatni

	M + √M2−4
n2 =
	2

Rozwiązanie nierówności kwadratowej już mamy − są to wszystkie n>n₂. Ponieważ na ogół liczba n₂ nie jest liczbą naturalną, elegancja wymaga, żeby powiedzieć: nierówność (*) jest spełniona dla wszystkich n > k = [n₂]. I to tyle.