Z definicji granicy ciągu udowodnić, że limpn{5}=1 I mam |pn{5}-1|<ε i nie wiem mmatix: Z definicji granicy ciągu udowodnić, że limⁿ√5=1 I mam |ⁿ√5−1|<ε i nie wiem co z tym dalej zrobic

mmatix:

PW: ⁿ√5 <1+ε

	1
Dla każdej ε można znaleźć taką k∊N, że kε>1 a więc ε>		i dla wszystkich m>k jest
	k

	1
ε>		.
	m

Rozwiążmy więc nierówność "lepszą":

	1
zamiast n√5 <1+ε pokażmy, że n√5 <1+		<1+ε, czyli
	k

	1
5 < (1+		)n
	k

	1
Liczba 1+		jest na czas tego rozważania (o tym konkretnym ε) stałą, większą od 1.Oznaczmy
	k

ją symbolem u − dla wygody, żeby nie pisać ułamków. Wiemy (?), że ciąg uⁿ dla u>0 jest rosnący i nie ma ograniczenia z góry, więc nierówność 5<uⁿ jest prawdziwa dla wszystkich n począwszy od pewnej m ∊N. Logarytm o podstawie u>1 jest funkcją rosnącą, czyli można po obustronnym zlogarytmowaniu wskazać, że log_u5<nlog_uu log_u5<n. Szukaną liczbą m jest zatem [log_u5]. Podsumowanie. Pokazaliśmy, że dla dowolnej ε>0 istnieje liczba m∊N, taka że jeśli n>m, to ⁿ√5 <1+ε. Oznacza to, że granicą ciągu ⁿ√5 jest liczba 1. Niestety, jest to takie zawiłe i "nic nie wychodzi" w sensie "wyszło mi 714", ale matematyka na tym poziomie trudna ci jest.

Trivial: PW, to rozwiązanie jest zawiłe. Można tę granicę udowodnić prostymi przekształcaniami. Rozważmy ogólny przypadek. Pokażmy, że lim_n→∞ ⁿ√a = 1. (a>0) 1. Przypadek a>1. |ⁿ√a−1| < ε ⁿ√a < ε+1 a^1/n < ε+1

	1
		< loga(ε+1) // znaku nierówności nie zmieniamy (a>1)
	n

	1
n >
	loga(ε+1)

	1
Zatem wystarczy wybrać n0 jako liczbę naturalną większą od		.
	loga(ε+1)

2. Przypadek a<1. |ⁿ√a−1| < ε 1−ⁿ√a < ε a^1/n > 1−ε

	1
		< loga(ε+1) // znaku nierówności zmieniamy (a<1)
	n

	1
n >
	loga(ε+1)

	1
Zatem wystarczy wybrać n0 jako liczbę naturalną większą od		.
	loga(ε+1)

Udowodnione dla dowolnego a. Podstawiając a=5 i wybierając odpowiednią gałąź, masz dowód dla tego konkretnego zadania.

Trivial: Poprawka W drugiej gałęzi rozpędziłem się z kopiowaniem. Powinno być wszędzie log_a(1−ε)

PW: No tak, może niepotrzebnie wprowadziłem jeszcze to k (chciałem pokazać, że to ε tajemnicze nie jest takie groźne). Ale i tak obaj kończymy na logarytmie i jego własnościach, tego się chyba nie da uniknąć. Pozdrowienia.