Trygonometria.Sinus.Cosinus.Wartość Wyrażenia!!! V.Abel: Oblicz wartość wyrażenia :

	√2
sin5x+cos5x, wiedząc, że sinxcosx=
	3

Jak to rozwiązać, próbowałem różnymi wzorami skróconego, ale tak różnie wychodzi.

Maslanek: Jeśli nie jesteś w stanie nic wymyślić, to: sin²x+cos²x=1

	√2
sinxcosx=		.
	3

Mila: Dobrze zapisana treść? Masz odpowiedź?

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i={uv%3Dsqrt%282%29%2F3%2C+%28u^2%2Bv^2%29%3D1} u=sinx v=cosx

V.Abel: nie mam odpowiedzi, ale próbowałem z tego, że sin⁵x+cos⁵x=(sin²x+cos²x)(sin³x+cos³x)−sinxcosx(sinx+cosx), oraz z tego, co Maslanek podsunał i wyszegł mi dziwny wynik, bardzo dziwny!:

3(3+2√2)		3+2√2
	*		, czy jakoś tak,, ale czy dobrze? ? ?
3		9

Ma ktoś może sprytniejszy pomysł?

V.Abel: Tak, treść dokładnie taka, próbowałem jeszcze na wzorach skrócnego mnożenia do piątej i innych potęg, potem przyrównać, ale tak średnio wychodzi. Z tego, co napisałem przynajmniej jakaś liczba wyszła. Ale czy na pewno to jest dobrze?

ZKS: Niech a = sin(x) oraz b = cos(x) a⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ − a³b + a²b² − ab³ + b⁴) a⁴ − a³b + a²b² − ab³ + b⁴ = (a² + b²)² − ab(a² + b² + ab) Więc a⁵ + b⁵ = (a + b)[(a² + b²)² − ab(a² + b² + ab)] (sin(x) + cos(x))[(sin²(x) + cos²(x))² − sin(x)cos(x)(sin²(x) + cos²(x) + sin(x)cos(x))] Po uproszczeniu dostajemy (sin(x) + cos(x))[(1)² − sin(x)cos(x)(1 + sin(x)cos(x)]

V.Abel: Ok , a ten mój sposób, ujdzie?

ZKS: Poprawiam (sin(x) + cos(x))[1 − sin(x)cos(x)(1 + sin(x)cos(x))] sin(x) + cos(x) możemy obliczyć w następujący sposób {sin²(x) + cos²(x) = 1

	√2
{sin(x)cos(x) =		/ * 2
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(+)

	2√2		1 + √2
(sin(x) + cos(x))2 = 1 +		⇒ sin(x) + cos(x) = ±
	3		√3

V.Abel: Dzięki, ale ja robiłem po swojemu i miałem podobnie, czyli w takim razie, ten wynik jest prawdopodobny?

ZKS: Nie zawsze wynik musi być piękny liczba niewymierna też jest liczbą i ma swoją wartość. Możesz policzyć z mojego sposobu i porównać ze swoim wynikiem.

Mila: Mianownik zgadza się, licznik mam inny.

	√2
sinx*cosx=
	3

sin²x+cos²x=1

	√2
sinx=		po podstawieniu i uporządkowaniu:
	3cosx

9cos⁴x−9cos²x+2=0 v=cos²x 9v²−9v+2=0 Δ=9

	1		2
v1=		lub v2=
	3		3

	1		2
cos2x=		lub cos2x=
	3		3

	√3		√6
cosx=±		lub cosx=±
	3		3

	√6		√3
sinx=±		lub sinx=±
	3		3

	√3		√6		√62*62*6		√33*32*3
sin5x+cos5x=(		)5+(		)5=		+		=
	3		3		81*3		81*3

	36√6		9√3		4√6+√3
=		+		=
	81*3		81*3		27

Dużo liczenia i łatwo o pomyłkę.

	4√6+√3
Drugi wynik to −
	27

V.Abel: Mila, a dlaczego masz dwa wyniki? Mój wynik, z mojego wyliczenia, to :

√3(3+2√2)(7−3√2)
27

Liczyłem metodą kolegi, którego nicku, ze względu na jego różowość doczytać się niezbyt mogę i wyszło mi bardzo podobnie, tylko wzór aⁿ−bⁿ znam, ale aⁿ+bⁿ nie znam, więc policzyłem jak dla aⁿ−b{n{, co oczywiście dało mi inne znaki. Skąd ja mam wiedzieć jaki jest wzór na aⁿ+bⁿ ? ? ?

Mila: U ZKS też będą dwa wyniki i takie jak u mnie. Właśnie dlatego, że mało kto z maturzystów zna wzór a⁵+b⁵ to podałam Ci inny sposób. Czy na drugim czynnikiem masz pierwiastek? Twój wzór z 17:08 chyba nie jest prawdziwy.

V.Abel: Dzięki wszystkim, tak zgubiłem kwadraty. Jeszcze raz dziękuję za pomoc

Mila: