Czy dane rownanie różniczkowe jest liniowe ? uzasadnij poomooocyy: Czy dane równanie różniczkowe jest liniowe ? Uzasadnij x²y'' + xy' = 3

pigor: ... nie jest, ale możesz je sprowadzić do liniowego ze względu na nową zmienną np.u tak: niech y'=u ⇒ y''=u' , a wtedy przyjmie postać: x²u'+xu= 3 . ...

poomooocyy: czyli po czym to widac? bo nie rozumiem za bardzo

pigor: ...liniowe ( inaczej − pierwszego rzędu) gdy, najwyższa pochodna to 1−sza np . x', y', u' itp, ponieważ tu y'' , a więc jest 2−ego rzędu (nieliniowe) ze względu na zmienną y , . ...

Krzysiek: to jest równanie różniczkowe liniowe równanie liniowe jest postaci: a_n y⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a₀y=f(x)

pigor: ... no to chyba mi się pomieszało liniowe z równaniem I−szego rzędu i na wszelki wypadek ... , przepraszam . ...

poomooocyy: Krzysztofie, a jakie by było nieliniowe? Bardzo dziękuję z góry

Krzysiek: jakby było innej postaci czyli jakieś y² popatrz na równanie Bernoulliego

poomooocyy: Popatrzyłam i nie wiem o co chodzi... chodzi o to, że jakby któryś ze współczynników miał coś z "y " to jest nieliniowe ? a jak są z x to liniowe ?

pigor: no tak , teraz Krzysztof mi uświadomił, no jasne i przepraszam, za swoje bzdety choć... gnębi mnie jeszcze to x² , czyżby tu był jakiś haczyk , trudno ja już lecę ...

Krzysiek: w Twoim przykładzie a₂ y'' +a₁ y'=f(x) a₂ =x² a₁ =x f(x)=3 a więc jest liniowe, ale gdyby było: x² y'' +xy' =3+y² to już nie będzie to liniowe, ponieważ, nie doprowadzimy już do tej postaci co napisałem y⁽ⁿ⁾ − oczywiście jest to 'n' pochodna a nie potęga

Krzysiek: pigor, równanie różniczkowe Eulera jak dobrze pamiętam to jest i przecież te 'współczynniki' przy 'y' nie muszą być stałe.

poomooocyy: Świetnie! Już rozumiem Ogromne dzięki

poomooocyy: Hmmm coś mi nie pasuje Definicja z książki Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci y'' + p(t)y' + q(t) y = h(t) nazywamy równaniem liniowym. (p(t), q(t) − współczynniki, h(t) −wyraz wolny równania) Dlaczego tu wygląda na to jakby współczynnik przy y'' musiał być równy 1 żeby równanie było liniowe ? Czy ja źle to rozumiem ?

Krzysiek: podziel sobie to co ja napisałem obustronnie przez a_n i otrzymasz to samo.

poomooocyy: w jaki sposób to samo ? bo jakoś tego nie widzę

Krzysiek: ay'' +by'+cy=d y''+b/a y' +c/a y =d/a p(t)=b/a q(t)=c/a h(t)=d/a wtedy y''+p(t)y'+q(t)y=h(t)

poomooocyy: więc ogólnie przy y'' może stać jakiś wspołczynnik zalezny jakby od x ?