pochodne zombi: Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=3x⁴−8x³+6m²x², x∊R, gdzie m jest parametrem. Uzasadnij, że funkcja ma trzy ekstrema lokale dla m∊(−1,0) ∪ (0,1). 1. f'(x)=12x³−24x²+12m²x 2. f'(x)=0 ∧ musi mieć trzy miejsca zerowe: f'(x)=0 12x(x²−2x+m²)=0 x=0 v

⎧	Δ>0
⎩	x≠0

⎧	m∊(−1,1)
⎩	m≠0	⇒ m∊(−1,0) ∪ (0,1)

Dobrze?

ZKS: .

zombi:

	x2+1
Uzasadnij, że funkcja f określona wzorem		, x∊R\{−2,2} jest malejąca w każdym z
	x2−4

przedziałów (0,2); (2,+∞).

	(x2+1)'(x2−4)−(x2+1)(x2−4)'		2x(x2−4)−2x(x2+1)
f'(x)=		=
	(x2−4)2		(x2−4)2

	−10x
=
	(x2−4)2

Teraz kolejny kroczek: f'(x)=0 ⇒−10x=0 ⇒x=0 f'(x)>0 ⇔ x<0 f'(x)<0 ⇔ x>0, czyli x=0 to nasze maksimum. Więc w przedziale (0,+∞) \ {2} f(x) jest malejąca. To też git?

ZKS: .

zombi:

	x2−3x+4
Dana jest funkcja f określona wzorem		, x≠3. Uzasadnij, że w przedziale <0,2>
	x−3

największa wartość funkcji wynosi −1, a najmniejsza −2

	(x2−3x+4)'(x−3)−(x2−3x+4)(x−3)'
f'(x)=
	(x−3)2

	(2x−3)(x−3)−(x2−3x+4)		x2−6x+5
=		=
	(x−3)2		(x−3)2

f'(x)=0 ⇒ (x−1)(x−5)=0 dla x=1 max dla x=5 min i teraz sprawdzam f(1)=−1 − max f(0)=−⁴₃ f(2)=−2 − min.

ZKS: .

zombi: Uzasadnij, że największa wartość funkcji f(x)=x+¹_x w przedziale <−10, −1> jest równa −2

	1
f'(x)=1−
	x2

f'(x)=0 x=1 v x=−1 z + na − dla x=−1 więc to nasz maks. f(−1)=−2

	1
f(−10)=−10−
	10

ZKS: Nie wiem tylko dlaczego liczyłeś dla f(−10) skoro obliczyłeś że ekstremum (max) jest dla x = −1 to wiadomo że dla x = −10 ta wartość będzie mniejsza.

zombi: To już z rozpędu

ZKS: Oczywiście można liczyć tylko po co.

zombi: Liczb x₁ i x₂ są różnymi pierwiastkami równania z parametrem m (¹₂−¹₄m²)x²+mx+m=0. Uzasadnij, że funkcja f(m) = x₁+x₂ nie ma ekstremów lokalnych. I^o Δ_równania >0 ⇒ m²−4m(¹₂−^m2₄)>0 ⇔m∊(−2,0) ∪ (1, +∞) II^o

	4m
f(m)=		m≠√2 m≠−√2
	m2−2

	(4m)'(m2−2)−(m2−2)'(4m)		−4m2−8
f'(m)=		=
	(m2−2)2		(m2−2)2

−4(m²+2) → Δ<0 ⇔m∊∅. Funkcja f(m) nie posiada ekstremów.

ZKS: Wygląda .