granice michał:

	x − √x
Oblicz granicę a) limx→+∞
	x + √x

	logx
b) limx → 0+
	1 + logx

	21/x + 1
c) limx → 0−
	2−1/x −1

	π		cosx − sinx
d) limx →
	4		cos2x

Jakby ktoś mógłby mi wytłumaczyć co te zapisy dokładnie zapisy oznaczają I jak to się robi,

Krzysiek: a)podziel licznik i mianownik przez 'x' b) przez logx c) 0⁻ tzn, że zmierzasz do zera z lewej strony,

	1
czyli: 1/x→		=−∞
	0−

(narysuj sobie funkcję y=1/x i sprawdź do czego zmierzasz zmierzając do x=0, z lewej strony)

	21/x +1		2−∞+1		0+1
zatem:		→		=		=0
	2−1/x−1		2∞−1		∞

d)cos2x=cos² x−sin² x=(cosx−sinx)(cosx+sinx)

michał: a mógłbyś dookreślić co oznacza zmierzać do zera z lewej strony?

	x − √x		√x   1 −   x		√x
a) limx → +∞		=		i to		dąży
	x + √x		√x   1 +   x		x

do 0?

	1
czyli cała granica		= 1 zgadza się ? Można to jakoś bardziej formalniej zapisać (czyli
	1

dlaczego dąży do 0 ) ?

	logx		1
b) limx → 0+		=		= i co teraz?
	1 + logx		1   + 1 logx

	π		cosx − sinx		cosx − sinx
d) limx →				=		=
	4		cos2x		(cosx − sinx)(cosx + sinx)

	1		1		1		√2
=		=		=		=		ok?
	cosx + sinx		√2   √2   + 2   2		2√2   2		2

Krzysiek:

	1
√x/x=		→0
	√x

b)no i teraz rysujesz wykres logarytmu i patrzysz gdzie zmierza funkcja logx , gdy x→0 z prawej strony d)ok a co oznacza, że zmierza np. z lewej strony do zera? tzn, że 'x' ma wartość 'trochę' mniejszą od zera. czyli np. −0,0.......01

michał: b) ale po co rysować wykres? z założenia wiemy, że x > 0 więc chyba dlatego będzie 0,0000...1 no ale gdzie zmierza? co trzeba wywnioskować?

Krzysiek: jak być narysował wykres to byś zobaczył,że logx→−∞, dla x→0⁺

michał: tutaj jest podobny 2907 i nie widzę, aby logx → −∞, jak to zauważyć ?

Krzysiek: a nie widzisz,że gdy x zbliża się do zera, to funkcja przyjmuje coraz mniejszą wartość? i przecież ta funkcja nigdy nie przetnie osi 'y' więc będzie zmierząć do −∞

michał: aha ok teraz sobie wyobraziłem to, zatem ostateczny wynik w b) to 1 ? natomiast c) rozwiązałeś za co ci dziękuję bo już rozumiem a takie zadanie: rozstrzygnij czy ciągi są zbieżne:

	2 * 5 * 8 * ... * (3n − 1)
∑n = 1∞		= (korzystam z
	1 * 5 * 9 * ... * (4n − 3)

	3n + 2		4n − 3
D'Alemberta) Dochodzę potem do:		*		i wychodzi mi 1, dobrze
	4n + 1		3n − 1

to?

michał:

Krzysiek: b)ok a z tym szeregiem, jeżeli z d'ALemberta wychodzi 1, to nic nie wiesz o zbieżności

michał:

michał: to chyba gdzieś się pomyliłem hmm

	an + 1		3n + 2   4n + 1
|		| =		do tego momentu dobrze?
	an		3n − 1   4n − 3

Krzysiek: bez mianownika, bo się on skraca. zostaje sam licznik

michał: ale jak? jak się skraca?

Krzysiek:

2*5*8*..(3n−1)(3n+2)
	=3n+2
2*5*8*...*(3n−1)

michał: ok, a jak najlepiej szacować w takich przypadkach:

	5n2 − 1
∑n = 1∞		wiem, że z porównawczego i wiem, że trzeba
	n3 + 6n2 + 8n + 47

	1
otrzymać		w tym przypadku ale nie wiem jak dobrać współczynniki
	n

Krzysiek: a musisz z porównawczego czy możesz z ilorazowego?

	1
i nie musisz otrzymać 1/n ,tylko A*		, gdzie A− to stała.
	n

	1
I skoro wiesz,że masz otrzymać:A*		to znaczy,że szereg będzie rozbieżny więc szacujesz
	n

od dołu.

michał: to wiem, ale nie umiem dobrać współczynników właśnie masz może jakąś uniwersalną metodę ?

Krzysiek: uniwersalna metoda? kryterium ilorazowe i nie bawisz się z szacowaniem

michał: ok to strzelę i:

	5n2 − 1		4n2		1		1
∑n = 1∞		≥		=		*		na
	n3 + 6n2 + 8n + 47		80n3		20		n

	1
podstawie ∑		szereg jest zbieżny, ok?
	n

Krzysiek: możesz i tak, tylko że szacujesz ciąg a nie cały szereg. i ∑1/n jest rozbieżny więc na mocy kryterium porównawczego szereg z zdania jest rozbieżny

michał: "tylko że szacujesz ciąg a nie cały szereg." − nie rozumiem tego a w takim przykładzie;

	1		1		1		1		1
∑n = 1∞		≥		=		=		*		zatem
	√n2 + 2n		√n2 + n2		n√2		√2		n

na mocy kryterium ... jest rozbieżny, ok ?

Krzysiek: rozbieżny jest, ale nie możesz tak pisac... ∑a_n ≥b_n więc coś tam.. a_n ≥b_n i ∑b_n rozbieżny więc ∑a_n rozbieżny.

michał: ale którego nie mogę tak zapisać?

Krzysiek: piszesz: ∑a_n ≥b_n a powinno być: a_n ≥b_n czyli szacujesz ciągi

michał: aha ok, a ten przykład z 18:18 ok jest ?

Krzysiek: ok, tylko pamiętaj o tym, że jak szacujesz to te nierówności mogą zachodzić od pewnego 'n', np. w tym przykładzie powyżej, ta nierówność nie jest prawdziwa dla n=1

michał: a więc jakbyś to oszacował, aby było od 1 ?

Krzysiek: dlatego napisałem,że nie musi ta nierówność zachodzic od n=1 ... tylko żebyś o tym wiedział

michał: ok a taki przykład:

	n + 1   ( )n3   n
∑n = 1∞
	3n

Dochodzę w kryterium D'Alemberta (wiem, że można z Cauchy'ego ale nie chcę) do momentu:

n + 2   ( )(n + 1)3   n + 1
	= i co z tym dalej ?
n + 1   3*( )n3   n

Krzysiek: ale po co sobie utrudniać życie...? jak jest coś do potęgi to z reguły Cauchy..,jak silnia to d'Alembert...

michał: a można to jakoś przekształcić?

michał: bo wyjdzie chyba ∞

Krzysiek: tak wyjdzie szereg rozbieżny, ale nie mam pomysłu jak to z d'Aleberta pokazać,

michał: A takie zadanie jak ruszyć:

	1
"Wykaż, że ∑n = 1∞		jest zbieżny. Natomiast jego suma < 2"
	2n − 1

Krzysiek: wskazówka: 2ⁿ −1≥2ⁿ⁻¹

michał: nie wiem

michał: mam to zrobić z porównawczego?

Krzysiek: tak

michał: tak, ale wskazówka i tak mnie nie naprowadziła mógłbyś to bardziej pociągnąć ?

Krzysiek:

1		1
	≤
2n −1		2n−1

	1
i badasz zbieżność/liczysz sumę ∑n=1
	2n−1

michał:

	1
no właśnie nie wiem jak zbadać ∑n = 1		i czy on jest zbieżny, czy nie.
	2n − 1

Krzysiek: to jest szereg geometryczny, gdzie iloraz jest równy 1/2<1 zatem szereg jest zbieżny

michał: aaa o takie uzasadnienie chodziło bez żadnego rozpisywania, a to, że jego suma jest mniejsza od dwóch?

Krzysiek: policz sumę tego szeregu geometrycznego

michał:

	1 − qn
czyli to z wzoru		?
	1 − q

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_geometryczny

michał:

	an + 1
q =
	an

	2n		2n		1
q =		=		=		= 2
	2n − 1		1   2n *   2		1   2

i coś mi chyba nie pasuje teraz

Krzysiek: odwrotnie powinno być ,tzn licznik z mianownikiem,

	1		1
po drugie po co to liczysz? masz ∑n=1		=∑n=0 (1/2)n=		=2
	2n−1		1−1/2

michał: ok, a taki przykład:

	3n
∑n = 1∞		Wygląda, że można zastosować kryterium Cauchy'ego i wyjdzie:
	22n

	3n		3		3
n√		=		=		< 1 więc zbieżny, ok?
	22n		22		4

Krzysiek: jeżeli w mianowniku jest 2²ⁿ to ok.

michał: nie w mianowniku jest 2²ⁿ

michał:

michał:

michał:

Krzysiek: to wtedy granica zmierza do 0

poi: dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=2/x a)Narysujwykres funkci g określonej wzorem g(x) 2/x−2−2 b)Określ przedziały monotonicznościfunkcji g c)Podaj wartość największą oraz najmniejszą funkci g w przedziale<−2,0)

michał: ale jak ta granica zmierza do 0? mógłbyś rozpisać?

Krzysiek: w liczniku masz 3, a w mianowniku: 2^2n/n →2^∞=∞

	3
zatem:		=0
	∞

michał: aaa ok a mógłbyś pokazać jak robi się coś takiego: "Podany szereg jest zbieżny, czy zbieżny absolutnie"

	(−1)n + 1
a) ∑n = 1∞
	2n − 1

michał:

Krzysiek: zbieżny absolutnie czyli bezwzględnie? jeżeli: ∑|a_n| jest zbieżny to wtedy szereg jest zbieżny bezwzględnie (absolutnie) bo z kryterium porównawczego: a_n ≤|a_n| jeżeli ∑a_n zbieżny i ∑|a_n| rozbieżny to szereg ∑a_n jest warunkowo zbieżny do zbadania czy ∑a_n jest zbieżny skorzystaj z kryterium Leibniza, a zbieżność(rozbieżność) ∑|a_n| chyba nie trudno zbadać?

michał: a mógłbyś zrobić ten przykład bo chcę załapać formalizm a resztę będę robił podobnie ok?

Krzysiek:

	1
∑|an| =∑		−rozbieżny (raczej już umiesz to wykazać,np. z kryterium porównawczego)
	2n−1

	(−1)n+1
∑
	2n−1

	1
bn=		→0
	2n−1

	1		1		2n−1−2n−1		−2
bn+1−bn=		−		=		=		<0
	2n+1		2n−1		(2n+1)(2n−1)		(2n+1)(2n−1)

zatem malejący ciąg więc na mocy kryterium Leibniza ∑a_n jest zbieżny(warunkowo)

poi: dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=2/x a)Narysujwykres funkci g określonej wzorem g(x) 2/x−2−2 b)Określ przedziały monotonicznościfunkcji g c)Podaj wartość największą oraz najmniejszą funkci g w przedziale<−2,0)

poi: prosze o pomoc

michał: zawsze tak rozbijamy? ok to mam:

	(−1)n + 1
b) ∑n = 1∞
	n23n

	1
Idąc twoim tokiem myślenia: ∑|an| = ∑		− zbieżny? czy to trzeba też udowadniać?
	n23n

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w#Kryterium_Leibniza więc trzeba sprawdzić 2 warunki, by szereg był zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza po drugie, musisz wykazać, że to jest zbieżne/rozbieżny. Jak wyżej napisałem, jeżeli: ∑|a_n | zbieżne to i ∑a_n zbieżny. więc nawet nie musisz badać z kryterium leibniza.

michał:

	1		1		1
aha, czyli np.:		z kryterium Cauchy'ego		→		więc jest zbieżny
	n23n		n√n2*3		3

absolutnie ?

Krzysiek: tak

michał: ok

	(−1)n + 1
c) ∑n = 1∞
	(2n − 1)3

	1		1
∑|an| = ∑		≤		, więc zbieżny absolutnie ?
	(2n − 1)3		n2

Krzysiek: więc znów robisz ten sam błąd.. szacujesz szereg z ciągiem.. ale tak,zbieżny absolutnie.

michał: ok, ale rozpisanie jest dobre?

michał:

	(−1)n + 1 n + 1
d) ∑n = 1∞		i teraz takie pytanie, usuwamy tylko (−1)n + 1 więc
	n

zostaje:

n + 1
	więc warunek konieczny nie jest spełniony więc 2 x nie
n

Krzysiek: napisałem wyżej, że źle zapisujesz, jak 'zniknie' ∑ to szacowanie ok. d)tak nie jest spełniony warunek konieczny. ale nie wiem o co Tobie chodzi z tym 2x nie...

michał: że nie jest zbieżny ani warunkowo, a tym bardziej absolutnie

Krzysiek: no a jak ma być zbieżny jak jest rozbieżny...?

michał:

	1
a takie e) ∑n = 1		widać, że szereg rozbieżny, więc jak tutaj
	√(n + 4)(n + 9)

sprawdzić leibnizem ?

Krzysiek: ale przecież tu nie sprawdzasz z kryterium Leibniza bo nie masz ciągu naprzemiennego... gdzie tu niby występuje: (−1)ⁿ ? po prostu szereg rozbieżny.

michał: aha czyli o to chodzi, ok

michał:

	(−1)n * 2010n
f) ∑n = 1		mógłbyś to rozpisać bo nie wiem jak z tego
	32n

sprawdzić warunek konieczny

Krzysiek: ale tu zarówno 20>3 jak i 10>2 więc licznik szybciej zmierza do ∞ niż mianownik więc a_n →+/− ∞

michał: a jak to można obliczyć? np.: z twierdzenia Cauchy'ego: ⁿ√20¹⁰ⁿ = 20^{10n * 1/n} = 20^10n/n i gdzie to dąży?

Krzysiek: do ∞ zamiast korzystać z kryteriów, podziel licznik i mianownik przez 20²ⁿ albo 3¹⁰ⁿ

michał: ok a jak to ∞ to nie ma kryterium czy co, warunek jakiś nie jest spełniony?

Krzysiek: tylko, że zarówno licznik i mianownik zmierza do ∞. Przecież jak pokażesz,ze nie jest spełniony warunek konieczny to już z żadnego kryterium nie musisz korzystać...

michał: a nie jest w tym przypadku spełniony (nie pamiętam warunku na to )

poi: 1. Wielomian(2−x)(2+x)(4+x)²jest równy wielomianowi: a)(4+x²)²+8x² b)(4+x²)²−2x⁴ c)(4−x²)²+8x²+2x⁴ d)(4+x²)²−8x²+2x⁴ 2 Do wykresu funkcji f(X)=4/3x−4 nie należy punkt: a)(−3,0) b)(−3/4x,−3) c)(1 1/8,−7) d)(6 3/4,−13) 3. Dla x rórzny od 0 wyrażenie x³−1/x3+x²+x jest ruwne : a)1/x b)−1/x+1 c)−1/x²+x d)x−1/x 4. Funkcja f(x)=2^x+1 powstaje w wyniku przesunięciafunkcia f(x)=2^x a)o1jednostkę w prawo b)o1jednostkę wduł c)o1jednostkę w górę d)o1jednostkę w lewo 5. wartość wyrażenia log2 4 +log3 1/27 jest równe a)−2 b)−1 c)1 d)2 6. Wartość wyrażenia (∛8⁻1+∜9⁻2)jest równa a)1,3 b)2,1 c)1,2 d)3,2 7. Dziedziną funkcji f(x)=log(x²−4)jest a)xE(−2,2) b)x>2 c)x<2 d)E (− nieskończoność ,−2)u(2.nieskończoność)

michał:

poi: wiesz coś z tego

michał: a takie:

	n! * (−5)n
g) ∑n = 1
	nn * 2n

	an + 1		(n+1)! * nn * 2n
|		| =		=
	an		n! * (n + 1)n + 1 * 2n + 1

	(n + 1) * nn		1		n		1
=		=		* (		)n →		* e∞ → ∞?
	(n + 1) * (n + 1)n * 2		2		n + 1		2

Więc nie spełniony warunek konieczny?

poi: do którego to

michał:

michał:

Krzysiek: coś ci się wszystko pokręciło... liczysz z kryterium d'Alembeta a potem piszesz coś o warunku koniecznym...po drugie czemu zgubiłeś: (−5)ⁿ ?

michał: ok to zrobiłem, a jak zrobić takie:

	(−1)n
∑n = 2∞
	n − √n

	n + √n
dochodzę do		i nie wiem co dalej
	n2 − n

michał:

Krzysiek: a co masz zamiar robić? czemu opuściłeś (−1)ⁿ i czemu mnożyłeś przez sprzężenie?

michał: bo chcę to zrobić jak ty przykład a), a jak powinienem to zrobić? [chcę zobaczyć czy jest zbieżny]

Krzysiek: to musisz sprawdzić te 2 warunki jak korzystasz z kryterium Leibniza.

michał: ale jakie warunki, nie wiem jak to rozwiązać mógłbyś pokazać ?

Krzysiek:

1
	musi zmierzać do zera i być ciągiem malejącym
n−√n

michał:

	n + √n
ale to co obliczyłem		nie jest potrzebne, czy jest?
	n2 − n

Krzysiek: no nie wiem, masz sprawdzić te 2 warunki, jeżeli z takiej postaci lepiej się je sprawdza to sprawdzaj z takiej postaci.

michał:

1
	− jak sprawdzić czy zmierza do zera?
n − √n

	1		1
an + 1 − an =		−		=
	n + 1 − √n + 1		n − √n

n − √n − n − 1 + √n + 1
	=
(n + 1 − √n + 1)(n − √n)

√n + 1 − (√n + 1)
(n + 1 − √n + 1)(n − √n)

A to na górze zawsze będzie mniejsze od zera(na minusie) więc malejący. ok?

michał:

michał:

Krzysiek: jak sprawdzić czy zmierza do zera? dla n→∞ granica wynosi zero. tak jest malejący

michał: ale dobrze to napisałem z tym malejącym? i nie rozumiem tego jak sprawdziłeś to czy zmierza do 0 takie pytanie, czy dla:

	10nxn		1
∑n = 1∞		promień zbieżności wynosi		?
	n{10}		10

michał:

	10nxn
tam miało być
	n10

michał:

Krzysiek:

	1
a to nie widzisz,że taki ciag:		→0 ?
	n−√n

możesz podzielić licznik i mianownik przez 'n' tak, r=1/10

michał: aha ok

	(−1)n + 1 * 2n2
l) ∑n = 1∞
	n!

Liczę z kryterium D'Alemberta:

	an + 1		2(n + 1)2   (n + 1)!
|		| =		=
	an		2n2   n!

	2(n + 1)2 * n!		2(n + 1)2
=		=		i co dalej,
	(n + 1)! * 2n2		(n + 1) * 2n2

jak to rozpisać?

Krzysiek:

	22n+1
=		→∞
	n+1

michał: czyli? rozbieżny czy jaki

Krzysiek: tak rozbieżny

michał:

	sin77n
m) ∑n = 1∞		tutaj nawet nie wiem jak to zacząć, mógłbyś pomóc ?
	n2

Krzysiek: sinx≤1 , kryterium porównawcze

michał: mógłbyś to rozwiązać, bo mam analogiczne a nie mam na to pomysłu

sin77n		1
	≤		więc zbieżny zatem zbieżny absolutnie i warunkowo, tak?
n2		n2

michał:

michał:

michał:

Krzysiek: zbieżny bezwzględnie. nie może być zbieżny warunkowo jak jest zbieżny bezwzględnie...

michał: ale dobrze zrobiłem?

	2n + 17
n) ∑n = 1∞
	3n

Korzystam z kryterium Cauchy'ego

	2n + 17		2 + n√17		2
n√an = n√		=		→		< 1 więc zbieżny absolutnie?
	3n		3		3

michał:

Krzysiek: m)napisałem zbieżny absolutnie, ale nie może być też zbieżny warunkowo bo to się wyklucza. n)tak zbieżny, ale błędnie to liczysz.. ⁿ√2ⁿ +17 ≠2+ⁿ√17

michał: a jak to obliczyć? mógłbyś to napisać ?

Krzysiek: z tw. o trzech ciągach liczysz granicę licznika, i wynosi 2. albo bez kryterium Cauchy'ego:

2n +17
	=(2/3)n +17(1/3)n i rozbijasz na dwa szeregi geometryczne (zbieżne)
3n

michał: "z tw. o trzech ciągach liczysz granicę licznika" nie rozumiem gdzie to policzyć?

Krzysiek: 2←ⁿ√2ⁿ≤ⁿ√2ⁿ +17≤ⁿ√2*2ⁿ→2

michał: ok chyba łapie

	√n! + 1
o) ∑n = 1∞		to z kryterium D'Alemberta
	n!

	an + 1		√(n + 1)! + 1   (n + 1)!
|		| =		i jak pozbyć się tych
	an		√n! + 1   n!

pierwiastków?

michał:

michał:

michał:

michał:

michał:

michał:

Krzysiek:

1		(n!(n+1)+1)		n!(n+1)+1
	*√		=√		→0
n+1		n!+1		(n+1)2 (n!+1)

michał:

	√x − 2
a jak obliczyć taką funkcję w punkcie: limx→4		?
	x − 4

i taki przykład:

	(−1)n2
∑n = 1∞		jak się za niego zabrać?
	(n + 3)1/4

Krzysiek:

	a2 −b2
a) w liczniku skorzystaj ze wzoru: a−b=
	a+b

b)skorzystaj z kryterium Leibniza

michał:

	x − 4   √x + 2
a)		o to chodziło?
	x − 4

b) jak, nie wiem jak to ruszyć

michał:

michał:

Krzysiek: a) i skracasz x−4

	1
b)		→0
	(n+3)1/4

musisz jeszcze wykazać, że ten ciąg jest malejący.

michał: Rozstrzygnij czy podany szereg jest zbieżny:

	(−1)n
∑n = 1∞
	√n + 2log(2n)

Jak się za to w ogóle wziąć, ponieważ z log nigdy nie robiłem przykładów.

Krzysiek: zbadaj, czy ∑|a_n| jest zbieżny, jeżeli tak to i ∑a_n jest zbieżny jeżeli: ∑|a_n| rozbieżny to, ∑a_n zbadaj korzystając z kryterium Leibniza

michał: mógłbyś to pokazać? bo zrobiłem tyle przykładów, a wciąż nie umiem zastosować kryterium Leibniza nie wiem dokładnie co ono określa

Krzysiek:

	1
1 warunek jest spełniony, ciąg:		→0
	√n+2log(2n)

pozostał drugi, że ciąg jest malejący. Kryterium Leibniza określa czy szereg jest zbieżny(warunkowo)

michał: a jak udowodnić, że ciąg jest malejący?

michał:

michał:

michał:

Krzysiek: rozpisz: b_n+1−b_n a potem oszacuj licznik

michał: ok zrobione A jak znaleźć granicę czegoś takiego: lim_x→−1 ({x} − ({x})²)

Krzysiek: a co oznacza {x} ? to część ułamkowa?

michał: tak i nie wiem jak to zrobić, rozpatrzyć

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit {x}=x−[x] i policz granice jednostronne

michał: definicje to znam ale nie wiem jak to zrobić, i nie umiem obliczyć granicy jednostronnej

michał: mógłbyś to pokazać? bo mam jeszcze kilka podobnych zadań

Krzysiek: dla x→−1⁺ (czyli 'x' jest trochę większy od −1, więc [x]=−1 {x}=x−[x]→−1−(−1) dla x→−1{−} ([x]=−2 ) x−[x]→−1−(−2)=1

michał: dziwne, w odpowiedzi mam że wychodzi 0

michał:

Krzysiek: no bo masz policzyć granicę: {x}−{x}² a ja policzyłem {x}

michał: A takie zadanie: Wyznacz dziedzinę funkcji jej punkty ciągłości i nieciągłości

	1
f(x) =
	{x}

Jak wyznacza się dziedzinę czegoś takiego?

Krzysiek: {x}=x−[x] czyli: sprawdź dla jakich 'x' x=[x]

michał: nie wiem jak wyznaczyć dziedzinę ale z tego co zauważyłem to jest ciągła w przedziale (0,1) ok?

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=1%2F(x-Floor%5Bx%5D)

michał: to dziedziną jest każdy przedział (0,1)? oczywiście potem zwiększa się lub zmniejsza

Krzysiek: dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych bez liczb całkowitych

michał: można to jakoś formalnie zapisać?

michał:

Krzysiek: D=R\Z

michał: A jak wyznaczyć ciągłość − to co wyznaczyłem jest ok? Oraz jak zbadać zbieżność:

	2 + (−1)n
∑n = 1∞		?
	n2

michał:

Krzysiek: jak widać z rysunku funkcja jest ciągła w przedziałach (k,k+1), k∊Z a zbieżność tego szeregu z kryterium porównawczego.

michał: a jak wpadłeś, że to z kryterium porównawszego, a nie np.: z D'Alemberta? bo wtedy bodajże:

	2 + (−1)n		1
|		| ≤		i jest zbieżny, koniec
	n2		n2

Krzysiek: z d'Alemberta praktycznie korzystasz tylko wtedy gdy masz silnię.

michał: a czemu np.: nie Leibnitz?

Krzysiek: bo z kryterium Leibniza korzystasz tylko wtedy gdy ∑|a_n| jest rozbieżny, a tutaj tak nie jest.

michał: Aha ok: A taki przykład (zbadać zbieżność szeregu): ∑_{n = 1}^∞ (−1)ⁿ(ⁿ√2 − 1) i dlaczego takie kryterium?

Krzysiek: kryterium Leibniza. a dlaczego? jak masz b_n(−1)ⁿ a_n to z reguły kryterium Leibniza.

Krzysiek: tzn, ∑b_n, b_n =(−1)ⁿ a_n

michał: 2ⁿ − 2ⁿ * 2 < 0 2ⁿ (1 − 2)< 0 −2ⁿ < 0 czyli malejący więc spełnia to by było chyba na tyle tylko nie rozumiem do końca tych przykładów z {x} mógłbyś jakoś dogłębnie wytłumaczyć jak się brać za nie ?

Krzysiek: z tym szeregiem to nie do końca tak, bo tam masz: 2^1/n a nie 2ⁿ a z tym {x}.. to nie do końca wiem co mam wytłumaczyć. skoro: {x} jest w mianowniku to: {x} ≠0 x−[x]≠0 x≠[x] a ta równość zachodzi tylko gdy x jest całkowite

michał: bardziej mi chodziło jak liczyć ciągłość i nieciągłość

Krzysiek: {x}, jest ciągła w określonych przedziałach więc i 1/{x} jest ciągła w odpowiednich przedziałach

michał: a takie zadanie: Określ wartość danej funkcji w 0 tak, aby była ciągła:

	sin2x
a) f(x) =
	1 − cosx

michał:

michał:

michał:

Godzio:

	sin2x
limx→0		= limx→0(1 + cosx) = 1 + cos0 = 2
	1 − cosx

sin2x		1 − cos2x		(1 − cosx)(1 + cosx)
	=		=		= 1 + cosx
1 − cosx		1 − cosx		1 − cosx

Zatem f(0) = 2