PW: Trzeba wziąć dwa dowolne elementy z dziedziny (nie wskazując ich konkretnie), czyli x
1 i x
2 i
zbadać, czy jeśli x
1<x
2, to
a) f(x
1) < f(x
2) (wtedy funkcja jest rosnąca)
b) f(x
1) > f(x
2) (wtedy funkcja jest malejąca)
c) różnie może być, zależy od x
1 i x
2 (wtedy funkcja nie jest monotoniczna).
Przypadek funkcji niemalejącej (nierosnącej) pominąłem, bo tu nie będzie potrzebny.
No to bierzmy dowolne x
1 i x
2, x
1<x
2 i zbadajmy różnicę
f(x
2) − f(x
1) = x
22 − x
12 = (x
2 − x
1)(x
2+x
1) >0, bo ...
Mamy więc: dla dowolnych x
1 i x
2 ∊ (0,
∞) jeśli tylko x
1<x
2, to
f(x
2) − f(x
1) > 0
f(x
2 > f(x
1),
czyli przypadek a).
Każde zadanie pt. "zbadaj monotoniczność" rozwiązuje się według tej sztampy, Czasem zamiast
badać różnicę f(x
2) − f(x
1) wygodniej jest badać iloraz
i pokazać, że jest większy (lub mniejszy) od 1. Wtedy, jeśli udowodnimy np., że
i wiemy, że f(x) >0, to po pomnożeniu przez mianownik mamy
f(x
2 > f(x
1).
Sposób z dzieleniem wymaga jednak pewności, że f(x) ma stały znak − żeby wiedzieć "w którą
stronę" będzie nierówność po wymnożeniu przez mianownik.