Całki nieoznaczone niewymierne Dominika: Hej. Pomocy i to bardzo szybko jak sie da Proszę!

	2x+3
∫		dx
	x2−5

	dx
∫
	3√5x

Basia: ad.1

	2x		1
= ∫		dx + 3∫		dx
	x2−5		x2−5

pierwsza: podstawienie t = x²−5 druga: x²−5 = (x−√5)(x+√5) i rozkład na ułamki proste ad.2

	1
=		∫x−1/3 dx
	3√5

Dominika: Chciałabym, żeby to pomogło, ale nadal dla mnie to czarna magia.

Basia: trudno trzeba zacząć się uczyć najpierw tego https://matematykaszkolna.pl/strona/2110.html (całka 2) potem tego https://matematykaszkolna.pl/strona/2128.html (całka 1.1) a na końcu tego https://matematykaszkolna.pl/strona/2306.html (całka 2.2)

Bahu: Dominika, Paskuda i tak Ci nie zaliczy matmy !

Bahu: Basiu, bardzo proste rozwiązanie, dzięki piękne !

Dominika: Napiszę jak inaczej to policzyłam, nie wiem tylko czy dobrze.

	2x+3
∫		dx =
	x2−5

	2x		dx
∫		dx +3∫		=
	x2−5		x2−5

	2x		3		dx
∫		dx +		∫		=
	x2−5		5		x2   − 1   5

	2x		3		dx
∫		dx +		∫
	x2−5		5		x   ( )2 − 1   5

x² − 5 = u =>2xdx = du

x		dx
	= t =>		= dt
√5		√5

	du		3{√5}		dt
∫		+		∫		=
	u		5		t2 −1

	3{√5}
ln IuI +		arctgt + C =
	5

	3{√5}		x
ln (x2−5) +		arctg		+ C
	5		√5

Krzysiek:

	dx
po pierwsze:		=dt
	√5

czyli: dx=√5dt

	dt
więc było by: 3√5∫
	t2 −1

	dt
po drugie: ∫		≠arctgt+C
	t2−1

	dt
∫		=arctgt+C
	t2 +1

Basia:

	x2		x
żle;		= (		)2
	5		√5

	1
poza tym (arctgt)' =
	1+t2

	1
i wobec tego ∫		dt ≠ arctgx
	t2−1

Basia: napisałam Ci wyraźnie i po polsku, że tę całkę liczy się przez rozkład na ułamki proste

Dominika: Może i tak napisałaś, ale ja tego nie rozumiałam i spróbowałam policzyć tak jak było wyjaśnione na innym przykładzie w podręczniku. To, że nie wyszło nie oznacza, że się nie starałam.

Basia:

1		1		A		B
	=		=		+		=
x2−5		(x−√5)(x+√5)		x−√5		x+√5

A(1+√5)+B(1−√5)
(x−√5)(x+√5)

mianowniki są równe, to i liczniki muszą A(x+√5)+B(x−√5) = 1 = 0*x + 1 Ax + A√5 + Bx − B√5 = 0*x + 1 (A+B)x + (A−B)√5 = 0*x + 1 A+B = 0 (A−B)√5 = 1 B = −A (A−(−A))√5 = 1 2A√5 = 1

	1		√5
A =		=
	2√5		10

	√5
B = −
	10

	1		√5		√5
∫		dx = ∫		dx − ∫		dx =
	x2−5		10(x−√5)		10(x+√5)

√5
	*[ ln|x−√5| − ln|x+√5| ] +C =
10

√5		x−√5
	*ln|		|+C
10		x+√5

Dominika: Dziękuję za wyjaśnienie. Nie rozumiem tego dlatego się zapytałam Was, bo uważam, że tu geniusze matematyczni są. Jutro i tak idę na korki to może w końcu to zrozumiem.

Baha:

1		A		B
	=		+
(x − √5)(x + √5)		x − √5		x + √5

1 = A(x + √5) + B(x − √5)

	1
dla x = −√5: 1 = −2B√5, B = −
	2√5

	1
dla x = √5: 1 = 2A√5, A =
	2√5