Zbieznosc jednostajna ciagu funkcyjnego Olek: Czy, do jakich funkcji i jak jest zbiezny ciag:

	x
an(x)=n*sin(		)
	n

Nie chodzi mi o rozwiazanie zadania ale o schemat. Wiem tyle, że aby ciąg byl jednostajnie zbiezny to (chyba) funkcja utworzona z granic punktowych musi byc ciągla. Ale nie wiem co potem. I czy zawsze ciag jest zbiezny punktowo? Mam nadzieje, że ktoś mi to w koncu wyjasni, bo nie rozumiem tego do konca i sprawia mi to duze problemy w zadanich Pozdrawiam

Olek: Pomoze ktos?

MQ:

	x		n		x		x   sin   n
an(x)=n*sin		=x*		*sin		=x*
	n		x		n		x   n

	x
limn→∞		=0
	n

	sin z
limz→0		=1
	z

	x
Przyjmując z=		masz
	n

lim_n→∞ a_n(x)=x*1=x

Olek: Ok to rozumiem. Czyli jest zbiezny punktowo do funkcji y=x A czy mógłbys mi wytlumaczyc z ta zbieznoscia jednostajna?

MQ: Trzeba by pokazać, że jeśli sobie wybierzesz jakieś dowolnie małe małe ε, to zawsze znajdziesz dla niego takie N, że dla każdego n>N |a_n−x|<ε

Olek: Hmm a x dowolne bierzemy? i w ogole nie trzeba badac granic punktowych, bo nas babka tak uczyla

MQ: Tak, dowolne −− to jeden z warunków −− zapomniałem dodać.

Olek: hmm a dalbys rade zbadac tutaj na ciaglosc jednostajna? Albo jakikolwiek inny ciag funkcyjny bo troche nie czaje. Jakis banalny nawet.

MQ: Dla x=0 nie ma problemu, bo a_n=0, a każdy ciąg stały jest jednostajnie zbierzny do swojego stałego wyrazu. Zakładamy więc x≠0 Weźmy jakieś dowolne ε>0 Weźmy jakieś N>|x|/ε Wtedy dla każdego n>N>|x|/ε

1		1		ε
	<		<
n		N		|x|

czyli |x|/n<ε czyli |x/n|<ε czyli |−x/n|<ε czyli |0−x/n|<ε Udowodniliśmy więc, że dla każdego ε>0 da się znależć takie N, że dla każdego n>N i każdego x ciąg b_n=x/n jest jednostajnie zbieżny do 0.

MQ: Sorry, namieszałem w tym ostatnim poście (ostatecznie była już 1:07). N trzeba znaleźć niezależne od x.