hej zazu: roziąż: x⁴ − 6x³+x² + 6x − 5 ≥ 0

ICSP: takie fajne zadanko a ja muszę wychodzić Zrobię jak wrócę

zazu:

Artur_z_miasta_Neptuna: na pewno tak to wygląda bo Ci powiem, ze rozwiązania co najmniej 'nieciekawe' będą

ICSP: Najpierw zamiast nierówności rozwiąże równanie : x⁴ − 6x³ + x² + 6x − 5 = 0 x⁴ − 6x³ + 9x² = 9x² − x² − 6x + 5 (x² − 3x)² = 8x² − 6x + 5 (x² − 3x + y)² = 8x² − 6x + 5 + 2yx² − 6yx + y² P = 8x² − 6x + 5 + 2yx² − 6yx + y² = (8 + 2y)x² − 6(1+y) + (y² − 5) Δ = 36 + 72y + 36y² − (4y² − 20)(8 + 2y) = 36 + 72y + 36y² − 32y² − 8y³ − 160 − 40y = −8y³ +4y² + 32y − 124 Δ = 0 ⇒ −8y³ + 4y + 32y − 124 = 0 ⇒ −2y³ + y² + 8y − 31 = 0

	1
biorę podstawienie y = (z +		) i otrzymuje :
	6

	1		1		1
−2(z +		)3 + (z +		)2 + 8(z +		) − 31 = 0
	6		6		6

	1		1		1		1		1		8
−2(z3 +		z2 +		z +		) + z2 +		z +		+ 8z +		−31 = 0
	2		12		216		3		36		6

	2		1		1		1		48		1116
−2z3 − z2 −		z −		+ z2 +		z +		+ 8z +		−
	12		108		3		36		36		36

= 0

	2		4		96		1		3		144		3348
−2z3 −		z +		z +		z −		+		+		−
	12		12		12		108		108		108		108

= 0

	49		1601
−2z3 +		z −		= 0
	6		54

	49		1601
z3 −		+		= 0
	12		108

wprowadzam podstawienie z = u + v i po wykonaniu wszelkich obliczeń mam :

	1601
u3 + v3 = −
	108

	−117649
u3 * v3 =
	46656

tworzę równanie kwadratowe :

	1601		117649
z2 +		z −		= 0
	108		46656

	2563201		117649		2445552		1296 * 1887
Δ =		+		=		=
	11664		11664		11664		11664

	36√1887
√Δ =
	108

	−1601 ± 36√1887		1
z =		=		(−1601 ± 36√1887)
	108 * 2		63

i teraz już mam że :

	1
z =		(3√−1601 + 36√1887 + 3√−1601 − 36√1887)
	3

	1
czyli y =		(1 +23√−1601 + 36√1887 + 23√−1601 − 36√1887)) ≈ −2,8336
	6

wracam do prawej strony równania

	6 + 6y
P = (8 + 2y)x2 − 6(1+y) + (y2 − 5) = // dla Δ = 0 // = (8 + 2y)(x −		)2
	2(8 + 2y)

	6+6y
= (√8 + 2y*x −		)2
	2√8 + 2y

teraz dwa przybliżenia : √8 + 2y ≈ 1,5273

6 + 6y
	≈ −3,6998
2√8 + 2y

wracamy do równania (x² − 3x + y)² = 8x² − 6x + 5 + 2yx² − 6yx + y²

	6+6y
(x2 − 3x + y)2 − (√8 + 2y*x −		)2 = 0
	2√8 + 2y

	6+6y
(x2 − 3x + y − √8 + 2y*x +		)(x2 − 3x + y + √8 + 2y*x
	2√8 + 2y

	6+6y
−		) = 0
	2√8 + 2y

mamy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych. Sprawdzamy kiedy będą one = 0 Najpierw pierwszy :

	6+6y
(x2 − 3x + y − √8 + 2y*x +		) = 0
	2√8 + 2y

	6+6y
(x2 − (√8 + 2y + 3)x + (y +		) = 0
	2√8 + 2y

	6+6y
Δ = (√8 + 2y + 3)2 − 4(y +		) > 0 ≈ 20,4964 + 26,336 = 46,83> 0
	2√8 + 2y

	6+6y
√Δ = √((√8 + 2y) + 3)2 − 4(y +		) ≈ 6,8432
	2√8 + 2y

	6+6y   √8 + 2y + 3 + √((√8 + 2y) + 3)2 − 4(y + )   2√8 + 2y
x1 =		≈ 5,68525
	2

	6+6y   √8 + 2y + 3 − √((√8 + 2y) + 3)2 − 4(y + )   2√8 + 2y
x2 =		≈ −1,1579
	2

teraz sprawdzamy czy drugi trójmian ma jakieś pierwiastki

	6+6y
x2 − 3x + y + √8 + 2y*x −		= 0
	2√8 + 2y

	6+6y
x2 + (√8 + 2y − 3)x + (y −		) = 0
	2√8 + 2y

	6+6y
Δ = (√8 + 2y −3)2 − 4(y −		) ≈ 2,1707 − 3,4648= −1,2941 < 0 − brak
	2√8 + 2y

rozwiązań . Mamy już pierwiastki więc możemy wrócić do rozwiązywania nierówności : x⁴ − 6x³ + x² + 6x − 5 ≥ 0

	6+6y
(x2 − 3x + y − √8 + 2y*x +		)(x2 − 3x + y + √8 + 2y*x
	2√8 + 2y

	6+6y
−		) ≥ 0
	2√8 + 2y

	6+6y
(x2 − (√8 + 2y + 3)x + (y +		) ≥ 0
	2√8 + 2y

Dzięki przybliżeniu x₁ oraz x₂ wiem że x₂ < x₁ zatem odpowiedź to : x ∊ (−∞ ; x₂ > suma < x₁ ; + ∞ ) x ∊ (− ∞ ; x₂ = U{√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887))) + 3 − √((√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))) + 3)² − 4(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)) +U{6+6(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))}{2√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))})}{2} > suma < x₁ = U{√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887))) + 3 + √((√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))) + 3)² − 4(y +U{6+6(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))}{2√8 + 2(¹₆(1 +2³√−1601 + 36√1887 + 2³√−1601 − 36√1887)))})}{2} ; + ∞ )

Godzio:

Basiek: