PW: a) Ustalić dziedzinę. Pierwiastek jest określony tylko dla liczb nieujemnych, a więc musi być
−1−x ≥ 0, to znaczy x≤−1.
Wykazać monotoniczność to udowodnić, że dla dowolnych x
1,x
2∊(−
∞,−1>
x
1<x
2 ⇒ f(x
1)≤f(x
2) (wtedy funkcja jest rosnąca)
albo
x
1<x
2 ⇒ f(x
1)≥f(x
2) (wtedy funkcja jest malejąca).
Wystarczy więc zbadać różnicę
f(x
1) − f(x
2)
− jeżeli uda się pokazać, że jest ona zawsze dodatnia albo zawsze ujemna, to funkcja jest
monotoniczna.
Niech więc x
1 < x
2
f(x
1) − f(x
2) =
√−1−x1 −
√−1−x2.
| | √−1−x1 + √−1−x2 | |
Pomnożenie tej różnicy przez |
| (czyli przez 1) |
| | (√−1−x1 + √−1−x2) | |
pozwoli po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia łatwo powiedzieć czy jest to liczba
dodatnia, czy ujemna dla x
1 < x
2.
| | 1+2x−1 | | 1 | |
b) Dobrze będzie zauważyć, że f(x) = |
| = 1 − |
| , wtedy dowód będzie |
| | 1+2x | | 1+2x | |
banalny, gdy skorzystamy z monotoniczności funkcji 2
x.
