xx MariAN: uzasadnij ze liczba 10ⁿ+4ⁿ−2 jest podzielna przez 3

irena_1: Indukcyjnie Jeśli n=1 10¹+4¹−2=10+4−2=12 Z. 10ⁿ+4ⁿ−2=3p p ∊ N T. 10ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹−2=3t t ∊ N D. 10ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺¹−2=10*10ⁿ+4*4ⁿ−2=10ⁿ+4ⁿ−2+9*10ⁿ+3*4ⁿ=3p+3(3*10ⁿ+4ⁿ)=3(p+3*10ⁿ+4ⁿ)=3t t=p+3*10ⁿ+4ⁿ ∊ N

MariAN: a skad sie bierze to 9*10ⁿ 3*4ⁿ ?

PW: „Na krowach” to będzie tak: 10 krów = 1 krowa + 9 krów (krowa to 10ⁿ) 4 świnki = 1 świnka +3 świnki (świnka to 4ⁿ)

irena_1: 10*10ⁿ=1*10ⁿ+9*10ⁿ 4*4ⁿ=1*4ⁿ+3*4ⁿ

MariAN: a dlaczego 3(p+3*10n+4n)jest rowne 3t ?

MariAN: i dlaczego 3p+3(3*10n+4n) zmieniło się w 3(p+3*10n+4n) ?

Ajtek: 3 wyciągnięte przed nawias. PW, genialne wytłumaczenie problemu .

AS: Można też i tak 10ⁿ + 4ⁿ − 2 = (9 + 1)ⁿ + (3 + 1)ⁿ − 2 = 9ⁿ + n*9ⁿ⁻¹*1 + ... + 1 + 3ⁿ + n*3^{n − 1}*1 + ... + 1 − 2 = 9ⁿ + n*9ⁿ⁻¹ + ... + 3ⁿ + n*3^{n − 1} + ... Każdy element sumy jest podzielny przez 3 a więc i nasze wyrażenie jest podzielne przez 3 cnd.