Rozwiązywanie równań trygonometrycznych Karolina: rozwiąż równanie:

	x
2cosx+3=4cos
	2

Ja robię tak:

	x		x
2(cos2		−1)+3=4cos
	2		2

	x		x
2cos2		−2+3=4cos
	2		2

	x		x
2cos2		+1−4cos		=0
	2		2

I teraz stosuję wzór skróconego mnożenia:

	x
(2cos		+1)2
	2

	x
22cos		=−1
	2

	4π		4π
Z tego wychodzi mi x=−		+4kπ ⋁ x=		+4kπ
	3		3

	2π		2π
A w odpowiedziach jest x=		+4kπ ⋁ x=−		+4kπ
	3		3

Co robię źle

abc: cos(2a) = 2cos²(a) − 1 blad w pierwszej linijce

Karolina: Ale w przykładzie jest 2cosx, a nie cos2x..

abc: i wzoru skroconego mnozenia tez nie zastosujesz, przyjmij, ze np. t = cos(x/2) i wtedy rozwiaz rownanie kwadratowe

Skipper: cosx=cos^x/2−sin²x/2=2cos²x/2−1 zatem 2(2cos²x/2−1)+3= ...

ZKS:

	x
cos(x) = 2cos2(		) − 1 więc
	2

	x		x
4cos2(		) − 2 + 3 = 4cos(		)
	2		2

abc: no tak, 2cos(x) = 2*(2cos²(x/2) − 1) = 4cos²(x/2) − 2, heh nie pomyslalem, teraz to rzeczywiscie zastosujesz wzor skroconego mnozenia: (2cos(x/2) − 1) = 0

abc: (2cos(x/2) − 1)² = 0

Karolina: Dzięki bardzo, wyszło mi prawidłowo a jeżeli mam takie równanie: cos⁴x−sin⁴x=sin4x Ja robię tak: (cos²x)²−(sin²x)²=sin4x (cos²x−sin²x)(cos²x+sin²x)=sin4x cos²x−sin²x=sin4x cos2x=sin4x No i zatrzymuję się tutaj i nie potrafię dalej..

abc: sin(4x) = sin2(2x) = 2sin(2x)cos(2x)

Karolina: czyli wychodzi cos takiego: cos2x=2sin2xcos2x

	1
sin2x=
	2

	π		5π
x=		+kπ ⋁ x=		+kπ
	12		12

	π		kπ
a w odpowiedziach jest jeszcze trzecie rozwiązanie: x=		+
	4		2

Skąd wzięło się to trzecie rozwiązanie?

abc: na pewno ma to jakis zwiazek z tym, ze: cos2x = 0 dla x = pi/4 + k*pi/2

Karolina: aa, juz rozumiem, dzięki : )) a mogę prosic o pomoc w jeszcze jednym przykładzie? : )

	x		x		5
sin4		+cos4		=
	3		3		8

Zrobiłam tylko tyle, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

	x		x		x		x		5
(sin2		+cos2		)2−2sin2		cos2		=
	3		3		3		3		8

Ale nie mam pojęcia co dalej..

ZKS:

1		2		3
	sin2(		x) =
2		3		8

	2		3		2		√3
sin2(		x) =		⇒ sin(		x) = ±
	3		4		3		2

Karolina:

	1		2		3
a skąd wzięło się		sin2(		x)=		?
	2		3		8

ZKS: Z głowy.

	x		x		1		x		x
2sin2(		)cos2(		) =		* 4sin2(		)cos2(		) =
	3		3		2		3		3

1		x		x		1		2
	(2sin(		)cos(		))2 =		sin2(		x)
2		3		3		2		3

	1		2		5
1 −		sin2(		x) =
	2		3		8

	1		2		3
−		sin2(		x) = −
	2		3		8

1		2		3
	sin2(		x) =
2		3		8

Karolina: Kurde, jeszcze z jednym zadaniem mam problem. sinxsin2x=cosxcos2x Jeżeli pomnożę przez −2 to po lewej stronie bedę miała fragment cosx−cosy, ale co z drugą stroną równania?

ZKS: cos(x)cos(2x) − sin(x)sin(2x) = 0 cos(x + 2x) = 0 cos(3x) = 0 Wykorzystany wzór cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y) = cos(x + y)