Liniowa zależność wektorów Hari: Znajdź wszystkie wartości parametru λ∊ℛ, dla których wektory [1,0,λ], [2,−1,1],[λ,1,1] są liniowo zależne w przestrzeni (ℛ³ , + , ℛ, *). Proszę o pomoc, bo utknęłam w pewnym miejscu i nie wiem co dalej. Rozwiązują to tak: a [1,0,λ] + b[2,−1,1] + c[λ,1,1] = [0,0,0] [a, 0, aλ] + [2b, −b, b] + [cλ, c, c] = [0,0,0] Układ równań:

⎧	a+2b+cλ=0
⎨	−b+c=0
⎩	aλ+b+c=0

Z drugiego równania wychodzi, że: b=c Dalej otrzymuję układ:

⎧	b=c
⎨	a+(2+λ)b=0
⎩	aλ+b=0

k{b=c & b=−2aλ & a+(2+λ)(−2aλ)=0 Z trzeciego równania otrzymuję: a−4aλ−2aλ² =0 a(1−4λ−2λ²) =0 Czyli: a=0 ⋁ 1−4λ−2λ² =0 Δ=24 √Δ=2√6

	√6
λ1=−(1+		)
	4

	√6
λ2=−(1−		)
	4

Wiem też, że na pewno jednym z rozwiązań początkowego układu jest rozwiązanie zerowe, czyli: a=b=c=0 Wtedy: 2+λ = p, gdzie p∊ℛ λ=p−2 Czy dobrze to robię? I co dalej? Proszę o wskazówki.

Hari: up

Hari: ?

Basia: błąd jest w drugim układzie b = c a + (2+λ)b = 0 aλ+2b = 0 ale sprawdzałabym to inaczej badając dla jakich λ wyznacznik układu = 0 1 0 λ 2 −1 1 λ 1 1 det() = 1*(−1)*1 + 0*1*λ + λ*2*1 − [ λ*(−1)*λ + 1*1*1 + 1*0*2 ] = −1 + 2λ − [ −λ² + 1 ] = λ²+2λ − 2 Δ = 4 −4*1*(−2) = 12 √Δ = 2√3

	−2−2√3
λ1 =		= −1−√3
	2

	−2+2√3
λ2 =		= −1+√3
	2

i dla tych wartości λ układ jest liniowo zależny

Hari: Bardzo dziękuję za pomoc, nie wpadłam na to, żeby zbadać wyznacznik.