Pytanko odnośnie granicy. aa: Mam jeszcze jedno pytanko, tym razem do granic: Jak mam jakiś przykład z ułamkiem i odejmowaniem pierwiastków. Konkretnie:

2n2 + √n4 +2n −3
	i chcę wyliczyć z tego granicę dla n →∞. Wiem, że
n√n2 −2 − 3n2

nie muszę odrazu tego sprzężać, lecz mogę popróbować z wyłączaniem czynnika.

	2n2 + n2
Tak też robię. I wychodzi mi		i teraz moje pytanko. Czy to co jest w
	n2 −3n2

mianowniku to jest symbol nieoznaczony czy nie? To jest ∞−∞ czy nie? Nie potrafię wyczuć tego momentu.

Krzysiek: tak to jest symbol nieoznaczony, jednak bardzo łatwo go 'usunąć' przecież: n² −3n² =−2n² ...

aa: i tego właśnie nie kumam. Uczą , że jak jest symbol nieoznaczony to zmiana metody. A tu jednak lecimy dalej. No jak to zrozumieć? Kiedy będzie w takim razie taki symbol nieoznaczony, że nie będziemy mogli liczyć dalej?

Aga1.: Jak nie da się odjąć np. n³−n²

aa: aha. albo pewnie jak jest samo, np. n−n? czy nie?

Aga1.: n−n=0

aa: a popatrz na to: lim dla n −> ∞ n(√n⁴ − n − n²) jak liczę to zostaje mi: n(n² − n²) i to co w nawiasie mogę odjąć tak? I będzie n*0 a to symbol nieoznaczony , więc będe musiał sprzężać , tak?

Aga1.: Nie wiem jakim cudem wyszło n(n²−n²)

aa: sprzężyłem to i wyszło mi teraz.:

	−n
n(		) no i znowu schody bo znowu n * 0 ...
	0

aa: no wyciągam n⁴ i zostaje pod pierwiastkiem 1*n⁴ co daje n² − n²...

Aga1.:

	−n2
A mi wyszło
	√n4−n+n2

I pod pierwiastkiem dzielą przez n⁴, a poza pierwiastkiem przez n².

aa: tak, no tak CI wyszło bo już sprzężyłaś. Mi też tak wyszło, tyle, że na dole znowu jest n² − n² jak zrobimy jak mówisz..

aa: więc co z tym fantem zrobić?

Aga1.: Nie W liczniku −1, a w mianowniku

	1
√1−		+1
	n3

	1
i granica wynosi
	2

Aga1.:

	1
−
	2

aa: ja pierdziele, w mianowniku napisałem −n² jak sprzężałem i stąd tyle zamiesznia Przepraszam Ago i dziękuje A spojrzałabyś jeszcze na to? lim(√n² +2n +3 − n+1) Wyciągami n², zostaje mi n−n+1 , więc niby granica jest 1. a wolfram pokazuje, że 2....

Aga1.: To nie wyciągaj( bo popełniasz jakieś błędy), tylko pomnóż przez sprzężenie, gdyż masz ∞−∞

Franek: po sprzężeniu w liczniku wychodzi 4n+2,, wyciągasz n przed nawias w liczniku zostaje 4 w mianowniku 1+1=2 lim=2

aa: A jakby Aga Twoim zdaniem było to zrobione bez sprzężenia? Co by CI wyszło? Bo ja niewiem gdzie błąd robię. A chcę wyłuskać co z tym n−n. Czy to symbol nieoznaczony czy nie...

Franek: [∞−∞] symbol nieoznaczony, przez sprzężenie trzeba

aa: Franek no właśnie. a np . n² − 3n² to też symbol nieoznaczony? Czy już nie? Poprostu ja przestałem kumać kiedy jest symbol nieoznaczony a kiedy nie........ Bo przed chwilą mi pisali na forum, że właśnie n−n to jest 0. Teraz mi piszesz, że to jednak nieoznaczony jest. To wkoncu jak to jest naprawde?

Aga1.: Bez sprzężenia tego nie da się rozwiązać.

(√n2+2n+3−(n−1))(√n2+2n+3+(n−1)		n2+2n+3−(n2−2n+1
	=
√n2+2n+3+n−1		bez zmian

Aga1.: n−n=0 2n−n=n 3n−2n=n 5n²−2n²=3n² 9n³−2n³=7n³ Ale n²−n to symbol nieoznaczony , bo tego nie da się odjąć

aa: No właśnie Aga Nie da się rozwiązać bo jest n−n, symbol nieoznaczony. A dzis mi pisałaś, że n−n to jest 0 a nie symbol nieoznaczony. I ja mam mętlik już totalny... Aga1.: Jak nie da się odjąć np. n3−n2 24 lis 22:00 aa: aha. albo pewnie jak jest samo, np. n−n? czy nie? 24 lis 22:01 Aga1.: n−n=0 Może mogłabyś mi wytłumaczyć poprostu kiedy tak naprawdę odejmowanie jest symoblem nieoznaczonym a kiedy nie jest?

aa: no ale w tym właśnie przykładzie co go przed chwilą sprzężałaś wychodzi właśnie n−n + 1

aa: hmm? Jestes pewna, ze n−n = 0 ?

Franek: tak ale n²−3n² = −2n² , więc więc jest tylko 1 symbol ∞

aa: franek, nie bardzo rozumiem..

aa: aha kumam. a dlaczego tamtego powyzej przykladu nie mozna zrobic inaczej jak sprzezeniem? dlatego, ze tam jest n−n. i co z tym n−n? to jest nieoznaczony czy zwykły?

Aga1.: Najpierw wykonujesz redukcję wyrazów podobnych. Po sprzężeniu już nie powinno być symbolu nieoznaczonego typu ∞−∞

Aga1.: Na początku nie ma n−n. A jak później pojawi się, to trzeba zredukować i 0 nie pisać

aa: no ale wkoncu n−n jest symbolem nieoznaczonym czy nie?

Franek: symbole nieoznaczone: https://matematykaszkolna.pl/strona/345.html n²−3n² nie jest symbol symbolem nieoznaczonym bo po uporządkowaniu wyjdzie Ci −2n², a −2n² = −∞ do symbolu nieoznaczonego [∞−∞] stosuje się sprzężenia

Franek: chcąc określić symbol najlepiej jest pogrupować podobne wyrazy

aa: inaczej. jak z przykładu: lim (√n² +2n +3 − n + 1) zrobie √n²(1+2n/n² + 3/n²) − n +1} = n −n + 1 = 1. a tak byc nie moze. bo granica bedzie 2. pytanie, czemu tak byc nie moze, skoro n−n nie jest symbolem nieoznaczonym.

Franek: eh.... (√n²+2n+3 −n+1) jest symbolem nieoznaczonym [∞−∞] n²−3n² dało się zapisać jako −2n² tego powyżej się nie da

aa: czyli n − n jest symoblem nieoznaczonym jednak, tak? Mi caly czas chodzi o to piekielne n−n....

Aga1.: Na początku sprawdzasz, czy jest symbol nieoznaczony, jeśli jest , to od razu sprzężenie.

Franek: n−n spróbujmy inaczej, po twojemu n−n = [∞−∞] = przez sprzężenie = (n²−n²)/ n+n = 0/2n = 0 możesz to tak potraktować

Aga1.: Twoje rachunki z godziny 23:00 są błędne, ta nie wolno liczyć.

aa: Mam jeszcze taki przykład:

√4n2 +2n −1 + 3√1−n3
	i jak to licze wychodzi mi:
n+3

2n−n
	a to dalej = 1 a odpowiedzią jest ∞, więc coś robię źle. Co to może być?
n+3

aa: no czyli n − n jest symbolem nieoznaczonym i jak to widze, to wiem, ze mam powiedziec stop i zaczynac od nowa sprzezeniem. tak? Aga, a mogłabyś dokładniej wskazać czego konretnie nie można?

Aga1.: Mi wychodzi 1.

	2n−n
Ale		to nie wiem skąd.
	n+3

Franek: n−n jest symbolem nieoznaczonym ale możesz go uporządkować i wpisać po prostu 0

Aga1.: Zobacz

	4
4≠		,
	2

ale

6		6:2		3
	=		=
8		8:2		4

aa: Więc tak robię: wyciągami pod pierwszym pierwiastkiem n² a pod drugim n³, zostaje mi wówczas pod pierwszym n² *4 pod pierwiastkiem + n³ *(−1) pod pierwiastkiem oraz n+3 w mianowniku. Dalej opuszczam pierwiastki i jest 2n − n / n+3

aa: aga rozumiem co napisałaś natomiast dalej niewiem gdzie zrobiłem błąd. franek. no to jak zapiszę n − n , że jest 0 , no to zostanie mi 1! a nie moze byc jeden bo wynik jest 2.

Aga1.: Chyba jest już za późna pora, bo nie rozumiem co napisałeś. Dobranoc.