wyznacz funkcje maco: Wyznacz wszystkie funkcje f: R → R spełniające warunek f(x+y) − f(x−y) = f(x)f(y) dla każdych liczb rzeczywistych x,y. Mógłby mnie ktoś naprowadzić? Jak są podobne zadania z tym, że jest sam x to sobie radzę a tu nie umiem.

zośka: kilka własności tej funkcji : 1) to f(0)=0 ( podstaw za x=0 i y=0) 2) jest parzysta f(a)=f(−a) a więc ma wykres symetryczny względem osi y jak to sprawdzić: f(x+y)−f(x−y)=f(x)f(y) f(y+x)−f(y−x)=f(y)f(x) porównując obie równości: f(x−y)=f(y−x) czyli f(x−y)=f(−(x−y)) 3) f(2x)=[f(x)]²

Vax: f(2x) = f²(x) ≥ 0 dla dowolnego x rzeczywistego, czyli f(x) ≥ 0, więc: f(x+y) − f(x−y) = f(x)f(y) ≥ 0 ⇒ f(x+y) ≥ f(x−y) Wstawiając y:=−x dostajemy 0 ≥ f(2x) ≥ 0 czyli f(2x) = 0 stąd f(x) = 0, bezpośrednio sprawdzamy, że dana funkcja istotnie spełnia tezę.