równanie lucy: jak uzasadnić, ze kazde rozwiazanie u:R²→R równania (x+y)u_x+(y−x)u_y=0 jest funkcją stałą ?

Basia: a czym są u_x i u_y ? pochodnymi po x i po y ?

lucy: aha

lucy: pomoze ktos ?

Basia: (x+y)*a + (y−x)*b = 0 xa+ya+yb−xb=0 x(a−b)+y(a+b) = 0 jeżeli to ma być prawdą to albo a−b=0 i a+b=0 ⇔ a=b=0 i wtedy równanie jest prawdziwe dla dowolnych par (x,y) albo

	(a−b)x
a+b≠0 i y =
	a+b

ale wtedy równanie początkowe jest prawdziwe tylko dla niektórych par (x,y)

	a−b
np. dla pary (1;		) tak
	a+b

	a−b
ale dla pary (1;		+1) już nie
	a+b

czyli nie jest prawdziwe dla dowolnych par (x,y) w takim razie musi być a=b=0 czyli u_x=u_y= 0 a to jest możliwe ⇔ u(x,y) = C

lucy:

	x(a−b)
a tam nie powinno byc y= −		?
	a+b

Basia: powinno; nie wpłynie na tok rozumowania

lucy:

	b−a
dla x=1 y=		skad w drugiej parze +1 skoro y jest dany wg wzoru powyzej ?
	b+a

Basia: to tylko przykład; chodzi mi o to, że równanie byłoby spełnione np. dla pary

	b−a		b−a
(1;		) ale dla jakiejś innej pary (1;y) gdzie y≠		już nie
	a+b		a+b

	b−a		b−a
a		+1 na pewno ≠		+1
	a+b		a+b

ale jest jeszcze jedna możliwość, którą pominęłam a+b ≠ 0 ale a−b=0 tyle, że wtedy zawsze y=0 czyli tylko pary (x;0) spełniają równanie a już pary (x,y) gdzie y≠0 nie czyli też odpada

lucy: wskazówką do zadania było: jak wyglądają charakterystyki ? czy dzieki temu mozna znalezc jakies inne uzasadnienie tego zadania ?

lucy: hm?