granice

granice michał: Promienie zbieżności szeregów. Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć emotka

? Najlepiej na przykładach:

3n
n
 
xn
 

a) ∑n = 1 

n2

	2^{n + 7}x⁶ⁿ
b) ∑_{n = 1}
	√n

(tam jeszcze powinno być nad sigmą znak ∞ ale nie wiem jak to zapisać

23 lis 18:45

michał:

23 lis 18:53

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy

3n
n

a) an =

n2

spróbuj Sam policzyć:

	a_n+1
lim_n→∞
	a_n

b)skorzystaj z kryterium d'Alemberta i policz dla jakich 'x' zachodzi nierówność: lim_n→∞ ⁿ√ |2ⁿ⁺⁷ x⁶ⁿ)/√n| <1

23 lis 18:58

Krzysiek: b) nie z d'Alemberta tylko z Cauchy'ego.

23 lis 18:58

michał:

3n
n
 
xn
 

a) an = 

n2

	a_{n + 1}
\|		\| =
	a_n

(3n + 3 po n + 1)xn + 1 
(n + 1)2 

=

(3n po n)xn 
n2 

3n + 3
n + 1
 
xn + 1 * n2
 

=

=

3n
n
 
xn * (n + 1)2
 

(3n + 3)! 
 * xn * x * n2
(n + 1)! * (2n + 2)! 

=

=

3n! 
 * xn * (n + 1)2
n! * 2n! 

(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) * x * n2

=

 = ...

3n! 
 * xn * (n + 1)2
n! * 2n! 

i teraz pytanie czy n! * 2n! = 3n!?

24 lis 18:44

Krzysiek: nie ta równość nie zachodzi.

(3n+3)!n!(2n)!		(3n+1)(3n+2)(3n+3)		27
	=		→
(3n)!(n+1)!(2n+2)!		(n+1)(2n+1)(2n+2)		4

24 lis 18:54

michał: a gdzie podziało się xⁿ?

24 lis 19:02

Krzysiek: po prostu go nie brałem pod uwagę, spójrz na link jaki jest wzór na promień zbieżności.

24 lis 19:04

michał:

1

r =

, a tam nic takiego nie widzę, że można pominąć

 an + 1 
limn→∞
 an 

24 lis 19:08

Krzysiek: a spójrz jak wygląda ciąg a_n , czy zawiera on xⁿ ?

24 lis 19:10

michał: nie widzę wzoru tylko " a_n są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna x również może być rzeczywista lub zespolona."

24 lis 19:12

Krzysiek: masz szereg postaci: ∑a_n (x−a)ⁿ promień zbieżności badasz licząc właśnie z tego wzoru co wyżej napisałeś. Oczywiście możesz do też liczyć z kryterium d'Alemberta wtedy liczysz: lim_n→∞ |b_n+1/b_n | gdzie b_n =a_n (x−a)ⁿ

24 lis 19:16

michał: a mógłbyś rozpisać przykład b) bo nie wiem jak go ruszyć emotka

24 lis 19:17

Krzysiek: b) korzystając ze wzoru w tym linku.

	1		1
r=		=
	lim ⁿ√a_n		2

jednak w tym przykładzie nie mamy xⁿ tylko x⁶ⁿ zatem: |x⁶|<1/2

24 lis 19:24

michał: Bardziej chodziło mi o to jak obliczyć granicę za pomocą Cauch'ego emotka

24 lis 19:32

michał: emotka

24 lis 19:39

michał: emotka

24 lis 19:47

michał: emotka

24 lis 20:10

michał:

	2^{n + 7}		2^{1 + 7/n}		2¹ * 2⁰		2
lim ⁿ√		=		=		=		= 2
	√n		n^1/n²		1		1

24 lis 20:28

michał:

	1
i co oznacza zapis \|x⁶\| <		?
	2

24 lis 20:42

Krzysiek: co do tej granicy, w mianowniku korzystasz z tw. ⁿ√n →1 zatem √1=1 promień zbieżności wynosi 1/2 zatem, szereg jest zbieżny dla: |x⁶ −0|<r czyli: |x⁶ |<1/2

24 lis 21:10

michał: ok, a taki przykład:

	(54n + 1)ⁿx³ⁿ
∑_{n = 1}
	(81n + 2)ⁿ

To tutaj znowu korzystam z twierdzenia Cauch'ego

	54n + 1		54
lim		→
	81n + 2		81

	81
x³ <
	54

24 lis 21:20

Krzysiek: na końcu brakuje moduły. I nie korzystasz z kryterium Cauchy'ego. tylko z tw. Cauchy'ego−Hadamarda (chyba,że to tw. miałeś na myśli to ok.)

24 lis 21:23

michał: a czym to się różni od zwykłego twierdzenia Cauchy'ego? ∑_{n = 1}10^n²x^n³ lim 10ⁿ → ∞ (tutaj z twierdzenia tego co wyżej). Zatem promień jaki emotka

24 lis 21:30

michał: emotka

24 lis 21:38

Krzysiek: tylko,że ten szereg jest innej postaci, więc z tego tw. Cauchy'ego−Hadamarda (z linku ) nie skorzystasz. Więc trzeba skorzystać z kryterium Cauchy'ego i wtedy: lim_n→∞ ⁿ√ 10^n² x^n³ =10ⁿ x^n² i ta granica będzie zmierzała do zera gdy |x|<1 a dla pozostałych 'x' zmierzała będzie do ∞

24 lis 21:41

michał: ok, już chyba rozróżniam ale można chyba zawsze [w takich korzystać] z twierdzenia Cauchy'ego tylko nie usuwać tego x. ∑_{n = 1} n! * x²ⁿ Korzystamy tym razem z kryterium D'Alemberta:

	a_{n + 1}		(n + 1)! * x^{2n + 2}
\|		\| = \|		\| = (n + 1) * \|x²\|
	a_n		n! * x²ⁿ

I co teraz? emotka

24 lis 21:49

Krzysiek: tak jak normalnie badasz zbieżność szeregu liczysz granicę tego i patrzysz kiedy ta granica jest mniejsza od 1 W tym przypadku granica →∞, zatem tylko dla x=0 szereg jest zbieżny

24 lis 21:53

michał: Czyli promień jaki?

24 lis 21:54

michał: emotka

24 lis 22:03

Krzysiek: r=0

24 lis 22:04

michał:

	10ⁿxⁿ
∑_{n = 1}
	n¹⁰

Liczę z kryterium D'Alemberta:

an + 1

10n + 1xn + 1 
(n + 1)10 

|

| = |

| =

an

10nxn 
n10 

	10^{n + 1}x^{n + 1} * n¹⁰
= \|		\| =
	10ⁿxⁿ * (n + 1)¹⁰

	10 * \|x\| * n¹⁰
=		oba dążą do ∞, zatem R = 0?
	(n + 1)¹⁰

24 lis 22:16

michał:

24 lis 22:25

Krzysiek: (n/(n+1))¹⁰ →1¹⁰ =1 mogłeś z Cauchye'go skorzystać, szybciej wychodzi.

24 lis 22:27

michał: ∑_{n = 1} U{xⁿ}{n * 10^{n −1} Korzystamy z d'Alemberta:

an + 1

xn + 1 
(n + 1) * 10n 

|

| = |

| =

an

xn 
n * 10n − 1 

xn + 1 * n * 10n − 1

 1 
|x|*n*10n*
 10 

= |

|=

xn * (n + 1) * 10n

(n + 1) * 10n

 1 
|x| * n * 
 10 

|x| * n 

=

=

. Zatem R = 10 ?

n + 1

10n + 10

24 lis 22:42

michał: emotka

24 lis 22:47

michał: emotka

24 lis 22:59

Krzysiek: tak, R=10, tylko tam masz policzyć granicę, więc to 'n' 'znika'. po drugie skąd wiesz, że R=10? trzeba napisać, że z kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny gdy: |x|/10 <1 zatem: |x|<10 więc R=10

24 lis 23:02

michał: bo myślałem, że skoro to już umiem to dla oszczędności pisania to pominę emotka

∑_{n = 1}50ⁿx^{2n + 5} Korzystając z kryterium Cauchy'ego mogę stwierdzić, że: 50 * |x² * x^5/n| i jak to dalej zapisać? R = 0?

24 lis 23:08

michał: emotka

24 lis 23:14

Krzysiek: x^5/n →1 teraz korzystasz z tego,że dla |x²|<1 szereg jest zbieżny

24 lis 23:25

Krzysiek: tzn 50|x² |<1

24 lis 23:25

michał: aha ok

	xⁿ
∑_{n = 1}
	n(n + 1)

Korzystam z kryterium D'Alemberta:

an + 1

xn + 1 
(n + 1)(n + 2) 

|

| = |

| =

an

xn 
n(n + 1) 

	x^{n + 1} * n(n + 1)		n² + n
= \|		\| = \|x\| *		=
	(n + 1)(n + 2) * xⁿ		n² + 3n + 2

= |x| * 1 Zatem R = 1 emotka

24 lis 23:29

Krzysiek: tak, R=1

24 lis 23:31

michał: a takiego przykładu to nie umiem rozwiązać:

	x²ⁿ
∑_{n = 1}
	√n² + n − n

z jakiego kryterium ?

24 lis 23:39

Krzysiek: w mianowniku skorzystaj ze wzoru:

	a² −b²
a−b=
	a+b

24 lis 23:45

michał: nadal nie wiem jak emotka

[ co się stanie z x]

24 lis 23:47

Krzysiek: a co się ma stać? po prostu przekształcasz mianownik do innej postaci.

24 lis 23:50

michał:

x2n

co teraz?

n 
 
√n2 + n + n 

24 lis 23:52

michał:

25 lis 00:01

michał: emotka

25 lis 10:44

michał: emotka

25 lis 12:06

michał: emotka

25 lis 12:58

michał: emotka

25 lis 13:29

michał: emotka

25 lis 13:52

Krzysiek: teraz korzystasz np. ze wzoru z linku , r=1

25 lis 14:35

michał: nie rozumiem, dlaczego r = 1? mógłbyś rozpisać emotka

25 lis 14:41

Krzysiek:

	a_n+1
policz granicę:
	a_n

25 lis 14:43

michał: aha ok już rozumiem emotka

25 lis 14:44

michał: A taki przykład:

	4^{n + 5}x^{3n + 7}
∑_{n = 1}
	n6²ⁿ

Twierdzeniem D'Alemberta:

	a_{n + 1}
\|		\| =
	a_n

4n + 6 * x3n + 10 
(n + 1) * 62n + 2 

|

| =

4n + 5x3n + 7 
n62n 

	4^{n + 6} * x^{3n + 10} * n * 6²ⁿ
\|		\| =
	4^{n + 5} * x^{3n + 7} * (n + 1) * 6^{2n + 2}

4 * \|x³\| * n		n
	= \|x³\| *
36 * (n + 1)		9n + 9

	\|x³\|
Zatem		< 1 / * 9 więc R = 9
	9

ok ?

25 lis 15:03

michał: emotka

25 lis 15:11

michał: emotka

25 lis 15:16

Krzysiek: R=9 gdyby było, xⁿ a tu masz x³ⁿ

25 lis 15:16

michał: czyli R = √3?

25 lis 15:21

michał:

25 lis 15:28

michał: i z czego skorzystać w tym przykładzie:

	(2n)! * xⁿ
∑_{n = 1}
	(n!)³

Kryterium D'Alemberta?

25 lis 15:33

Krzysiek: |x|<³√9

25 lis 15:33

Krzysiek: tak, jak masz silnie to kryterium d'Alemberta,

25 lis 15:34

michał: ok, więc:

an + 1

(2n + 2)! * xn + 1 
((n + 1)!)3 

|

| = |

| =

an

(2n)! * xn 
(n!)3 

	(2n + 2)! * \|x\| * (n!)³
=		=
	((n + 1)!)³ * (2n)!

	(2n + 1)(2n + 2)		4
= \|x\| *		→		= 4
	(n + 1)³		1

	1
Zatem \|x\| * 4 < 1 / : 4 wiec promień wynosi R =		?
	4

25 lis 15:40

Krzysiek: to zmierza do zera, nie do 4. więc promień zbieżności to r=1/0 =∞

25 lis 15:42

michał: ahh racja, bo na górze będzie n² maksymalnie a na dole n³ emotka

	n! * x^{n + 7}
∑_{n = 1}
	nⁿ

Korzystam z kryterium D'Alemberta:

an + 1

(n + 1)! * xn + 8 
(n + 1)n + 1 

|

| = |

| =

an

n! * xn + 7 
nn 

	(n + 1)! * \|x\| * nⁿ		(n + 1) * nⁿ
=		= \|x\| *		=
	(n + 1)^{n + 1} * n!		(n + 1)^{n + 1}

	nⁿ
=
	(n + 1)ⁿ

i co teraz

wiemy, że → ∞ więc R = 0?

25 lis 15:47

Krzysiek:

	n
(		)ⁿ →1/e
	n+1

25 lis 15:50

michał: zawsze o tym zapominam emotka

czyli R = e?

25 lis 15:55

Krzysiek: tak

25 lis 16:02

michał:

4n
n

∑n = 1 

 * xn

Z kryterium D'Alemberta:

an + 1

4n + 4
n + 1
 
 * xn + 1
 

|

| = |

| =

an

4n
n
 
 * xn
 

4n+4
n+1
 
*|x|
 

(4n+4)! 
(n+1)!*(3n+3)! 

=

=|x|*

=

4n
n

4n! 
n!*3n! 

	(4n + 4)! * n! * 3n!
\|x\| *		=
	4n! * (n + 1)! * (3n + 3)!

	(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4)
= \|x\| *		i granica
	(n + 1) * (3n + 1) * (3n + 2) * (3n + 3)

	64		64		27
drugiej częsci dąży do		Zatem \|x\| *		< 1 ⇒ R =		ok ?
	27		27		64

25 lis 16:04

Krzysiek: tak

25 lis 16:08

michał: ∑_{n = 1} n! * x^n² Znowu z kryterium D'Alemberta:

	a_{n + 1}		(n + 1)!*x^(n+1)²		(n + 1)* x^{(n + 1)²}
\|		\|=\|		\|=\|		\|
	a_n		n!*x^n²		x^n²

= (n + 1) |x^{(n + 1)² − n²}| = (n + 1) * |x^{2n + 1|} i co dalej

R = 2?

25 lis 16:13

michał:

25 lis 16:25

michał: emotka

25 lis 16:37

michał: emotka

25 lis 16:52

michał: emotka

25 lis 17:32

Krzysiek: to zmierza do ∞, zatem r=0

25 lis 18:04

michał: ale co zmierza do ∞ ?

25 lis 18:16

Krzysiek: jednak nie, bo przy 'x' mamy jeszcze 'n' zatem dla |x|<1 granica zmierza do zera, tzn (n+1)|x²ⁿ⁺¹| →0 dla pozostałych 'x' granica →∞, więc R=1

25 lis 18:21

michał: a co dokładnie chodzi z tym n−ami przy x−sie?

25 lis 18:38

Krzysiek:

	a_n+1
bo jak masz:		to potem liczysz granicę dla n→∞
	a_n

więc jak masz np. xⁿ , to w zależności od 'x' różna jest granica. dla |x|<1 xⁿ →0,

25 lis 18:53

michał: ok emotka

n + 10
n

∑n = 1 

 * xn

Korzystam z kryterium D'Alemberta:

an + 1

n + 11
n + 1
 
 * xn + 1
 

|

| = |

| =

an

n + 1
n
 
 * xn
 

(n+11)! 
(n+1)!*10! 

(n+11)!

|x|*

=|x|*

=

(n+1)! 
n!*1 

10(n + 1)!*(n + 1)

	(n + 2) * ... * (n + 11)
\|x\| *		→ ∞ Zatem R = 0?
	10(n + 1)

25 lis 19:04

Krzysiek: w mianowniku gdzie masz symbol Newtona zgubiłeś 0, powinno być: n+10, a nie n+1

25 lis 19:14

michał: emotka

25 lis 19:14

michał:

	(n + 11) * n! * 10!		n + 11
\|x\| *		=
	10! * (n + 1)		n + 1

	1
Zatem R =		?
	11

25 lis 19:17

michał: emotka

25 lis 19:25

michał:

25 lis 19:44

michał: emotka

25 lis 20:31

Krzysiek: nie... przecież ten ułamek zmierza do 1...

25 lis 20:55

michał: ajć

	n! * (3n)! * xⁿ
∑_{n = 1}
	(2n)! * (2n)!

Korzystam z kryterium D'Alemberta:

	a_{n + 1}
\|		\| =
	a_n

(n + 1)! * (3n + 3)! * xn + 1 
(2n + 2)! * (2n + 2)! 

|

| =

n!*(3n)!*xn 
(2n)!*(2n)! 

	(n + 1)! * (3n + 3)! * (2n)!*(2n)!
\|x\| *		=
	(2n + 2)! * (2n + 2)! * (3n)! * n!

	(n + 1) * (3n + 1) * (3n + 2) * (3n + 3)		27
\|x\| *		→
	(2n + 1)(2n + 2)(2n + 1)(2n + 2)		16

	27		16
\|x\| *		< 1 ⇒ R =
	16		27

25 lis 21:18

Krzysiek: tak

25 lis 21:21

michał: a jak znaleźć granicę dla czegoś takiego:

	x²⁰⁰⁷ − 1
lim_x→1
	x¹⁰ − 1

25 lis 21:24

michał: emotka

25 lis 21:31

michał:

25 lis 21:41

Krzysiek: zamiast rozpisywać ze wzoru: aⁿ −bⁿ lepiej skorzystać z reguły de l'hospitala.

25 lis 21:43

michał: a jak nie miałem de l'hospitala oraz pochodnych

to jak to można szybko zrobić emotka

25 lis 21:47

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia i rozpisujesz licznik i mianownik ze wzoru: aⁿ −bⁿ skracasz: (x−1) i przechodzisz do granicy.

25 lis 21:49

michał: a to nie wyjdzie 0?

25 lis 21:51

Krzysiek:

	2007
nie. granica to:
	10

25 lis 21:52

michał: nie wiem jak to rozpisać emotka

25 lis 21:55

Krzysiek: x¹⁰−1=(x−1)(x⁹ +x⁸ +...+x+1) x²⁰⁰⁷−1=(x−1)(....)

25 lis 21:59

michał: czyli

x²⁰⁰⁶ + ... + 1		2007
	=		bo przecież jest jedynka na końcu
x⁹ + x⁸ + ... + 1		1

A jak to zrobić za pomocą de l'hospitala emotka

? Pytam z ciekawości.

25 lis 22:06

Krzysiek: w mianowniku masz 1+1+...+1 =10

	0
za pomocą de l'hospitala ,mamy symbol
	0

czyli liczymy pochodne licznika i mianownika i otrzymujemy:

2007x²⁰⁰⁶		2007
	→
10x⁹		10

25 lis 22:09

michał: tak to działa emotka

	1
lim_x→0 xsin(		) to też można za pomocą de l'hospitala?
	x

25 lis 22:11

Krzysiek:

	0		∞
nie. z tej reguły możemy korzystać tylko gdy mamy symbol		lub
	0		∞

tą granicę policz korzystając z tw. o trzech funkcjach.

25 lis 22:13

michał:

	1
−x ≤ xsin(		) ≤ x
	x

zatem x = 0 ?

25 lis 22:15

Krzysiek: zatem granica to zero.

25 lis 22:18

michał: ale dobrze to oszacowałem emotka

25 lis 22:19

michał: a jak obliczyć coś takiego:

	x − √x
lim_{x → 0⁺}		i co w ogóle oznacza to 0⁺ ?
	√x

25 lis 22:23

Krzysiek: tak, dobrze oszacowałeś. U{x−√x}{√x =√x−1 zatem granica to −1 0⁺ oznacza że zmierzasz do zera z prawej strony.

	1
przykład: lim_x→0
	x

	1
dla x→0⁺		→+∞
	x

	1
dla x→⁻		→−∞
	x

25 lis 22:26

michał: ale jak ci wyszło −1?

25 lis 22:32

Krzysiek:

	x−√x
tam miało być:		=√x−1 →0−1=−1
	√x

25 lis 22:35

michał: czyli usunąłeś niewymierność emotka

ok dziękuję ci bardzo za poświęcony czas na sprawdzanie moich "wypocin" emotka

25 lis 22:38

Krzysiek: Mam nadzieję,że zdasz kolosa emotka

25 lis 22:39