Ciągi Metiusz: Witam! Od niedawna borykam się z dużym problemem dot. granic ciągu mianowicie. Udowodnij na podstawie definicji granicy ciągu, że

	(n3)
Lim		=1
	n3+n+1

n−>∞ Na zajęciach najpierw korzystająć z def. robiliśmy Heurezę potem dopiero dowód. Czy ktoś jest w stanie mi wytłumaczyć jak to poprawnie zrobić ? Bardzo mi zależy bo w poniedziałek kolos

Trivial:

	n3
|		− 1| < ε
	n3+n+1

	n+1
|−		| < ε
	n3+n+1

n+1
	< ε
n3+n+1

Dla n ≥ 1 mamy n³+n+1 > (n+1)² zatem wystarczy jeśli pokażemy, że

n+1
	< ε.
(n+1)2

1
	< ε
n+1

1
	< n+1
ε

	1
n >		−1
	ε

	1		1
Wystarczy zatem wybrać n0 = [		]+1. Wtedy dla każdego n≥n0 zachodzi n >		−1, czyli
	ε		ε

	n3
zachodzi również |		− 1| < ε. ♦
	n3+n+1

Trivial: Ogólny schemacik tych zadań to: Mając do pokazania lim_n→∞ a_n = g, trzeba udowodnić, że dla każdego ε > 0 |a_n − g| < ε 1. Najpierw upraszczamy i pozbywamy się wartości bezwzględnej. 2. Być może będziemy potrzebowali wykonać jakieś założenie, np. "Zakładając n ≥ a mamy ... skąd ..., a zatem wystarczy pokazać, że..." 3. Zapisujemy naszą nierówność w postaci n > f(ε) 4. Mamy gotowe rozwiązanie, bowiem gdy n₀ = [f(ε)] + a, to dla każdego n≥n₀ zachodzi n>f(ε), czyli zachodzi to i tamto..., co kończy dowód.

Metiusz: Dziękować, Już mam na czym oprzeć swoe rozumowanie

Trivial: Aha i jeszcze taki mały błąd się wkradł. Przed pierwszym punktem zabrakło części linijki. Ma być: (...) dla każdego ε > 0 istnieje n₀, takie że dla wszystkich n≥n₀ zachodzi |a_n − g| < ε.