Liczby rzeczywiste Ferdiq: Wykaż, że jeśli a² + b² ≤ 2, to a + b ≤ 2. Pomoże mi ktoś mądry?

AC: Masz wskazówkę jak to zrobić tutaj 168834

Ferdiq: Skąd bierze się (a + b)² i (a − b)², jak na to wpaść? Dodawać stronami potrafię wyjdzie (a+b)² + (a−b)² = 2a² 2b², ale co kryje sie w lewej stronie równania niestety nie wiem...

Artur_z_miasta_Neptuna: co się kryje wzory skroconego mnożenia

Godzio: Można skorzystać też ze średniej arytmetycznej i kwadratowej:

a + b		√a2 + b2		√2
	≤		≤		= 1 w takim razie
2		√2		√2

a + b ≤ 2

Ferdiq: oczywiscie, ze wzory skroconego mnozenia, tylko potrafie niestety dojsc do sensownego wniosku co z nimi dalej zrobic, bo dodanie stronami nie wykazuje jeszcze postawionej tezy. Bazowanie na srednich mi sie podoba i jest jasne, chociaz to tylko, ze prawidlowy bylby chyba dowod algebraiczny za pomoca rownowaznych przeksztalcen, nie wiem czy egzaminator nie moglby sie doczepiac do uzasadniania srednimi. W kazdym razie i tak dziekuje.

Ferdiq: jeśli ktoś może pokazać wszystkie przejścia, to będzie świetnie, nawet bez objaśnień, bo póki co nie rozumiem idei tej wskazówki

Artur_z_miasta_Neptuna:

	√2
1 =		jasne
	√2

√2		√a2+b2
	≥		(bo a2+b2 ≤ 2)
√2		√2

√a2+b2		a+b
	≥
√2		2

a2+b2		a2+2ab+b2
	≥
2		4

4a²+4b² ≥ 2a² + 4ab + 2b² 2a² − 4ab + 2b² ≥ 0 2(a² − 2ab + b²) ≥ 0 2(a−b)² ≥ 0 już widzisz 'skąd' to się wzięło

pigor: ... Wykaż, że jeśli a,b∊R i a²+b² ≤ 2, to a+b ≤ 2 , no to może jeszcze ja, np. tak : a²+b²≤ 2 /*2 ⇒ 2(a²+b²)≤ 4 ⇔ 2a²+2b²≤ 4 ⇔ a²+2ab+b² + a²−2ab+b²≤ 4 ⇔ ⇔ (a+b)²+(a−b)²≤ 4 ⇔ (a+b)²≤ (a+b)²+(a−b)²≤ 4 ⇔ |a+b| ≤ 2 ⇔ ⇔ −2 ≤ a+b ≤ 2 ⇒ a+b ≤ 2 c.n.w. . ...