funkcja, pochodna, granica mieszkomieszko: Cześć, doradźcie, jak zrobić zadanie ze zdjęcia? szczególnie 1 czerwony punkt. Głowie się nad tym, ale nie moge za nic dojść do tego co oznacza fk(1) i jak to ugryźć. http://i45.tinypic.com/2gudq2a.jpg

MQ: f_k(1) oznacza wartość funkcji liczonej wg schematu wywnioskowanego dla f(t₀+nh), gdzie t₀+nh=1 a h=1/2^k

mieszkomieszko: możesz mi pokazać przykład jak to będzie wyglądało np dla k=2? to będzie t₀+1/4n, i co dalej?

MQ: Musisz najpierw znaleźć wzór ogólny na f(t₀+nh)

mieszkomieszko: to będzie f(t₀)(1−h) ?

MQ: To jest tylko dla n=1, a masz wyznaczyć ogólny, dla kazdego n.

mieszkomieszko: postępując wg wzoru z zadania dostane f(t₀)(1−nh)

MQ: Nie dostaniesz

mieszkomieszko: wiec rozumiem że problem pojawia się przy tej pochodnej? jak tam zmieni się postać tej funkcji?

MQ: Np. dla n=2

	df
f(t0+2h)=f(t0+h)+		(t0+h)*h=f(t0+h)−f(t0+h)*h=f(t0+h)(1−h)
	dt

czyli f(t₀+2h)=f(t₀+h)(1−h)=f(t₀)*(1−h)*(1−h)

MQ: Łapiesz już schemat?

mieszkomieszko: ok, dzięki, wytłumacz mi jeszcze dlaczego po tej pochodnej pojawiło się *h? domyślam się że dla kolejnych będzie się pojawiało *2h, *3h itd?

MQ: Po prostu wstawiłem zamiast t₀ do 3 wzoru t₀+h, bo t₀+2h=(t₀+h)+h

mieszkomieszko: czyli metoda jest taka że np dla 3h będe miał f(t₀+3h)=f(t₀+h)+2h = f(t₀)(1−h)(1−2h)?

MQ: Nie

	df
f(t0+3h)=f(t0+2h)+		(t0+2h)*h=f(t0+2h)−f(t0+2h)*h=f(t0+2h)*(1−h)
	dt

a wzór na f(t₀+2h) już masz

MQ: Zawsze idziesz o jedno h do tyłu i korzystasz z 1. wzoru Ogólnie bedziesz miał f(t₀+nh)=?

mieszkomieszko: f(t₀+(n−1)h)*(1−h)

MQ: Brawo! Znalazłeś wzór rekurencyjny. A teraz, skoro: f(t₀+h)=f(t₀)*(1−h) f(t₀+2h)=f(t₀+h)*(1−h) f(t₀+3h)=f(t₀+2h)*(1−h) ... f(t₀+nh)=f(t₀+(n−1)h)*(1−h) to jaki będzie wzór ogólny nierekurencyjny?

mieszkomieszko: a jak to znaleźć?

MQ: Podstaw pierwsze do drugiego i przyjrzyj się. Podstaw tak obliczone drugie do trzeciego i przyjrzyj się. na pewno odgadniesz

mieszkomieszko: f(t₀+nh)=f(t₀)(1−h)ⁿ ?

MQ: No! Prawda, że proste?

mieszkomieszko: Dzięki Jak będę miał jeszcze jakiś problem z tym zadaniem napisze, ale i tak ogromnie mi pomogłeś w ogarnięciu tego

mieszkomieszko: wracając do początku: mam wzór który z twoją pomocą odkryłem, jak ze wzoru f(t₀+nh)=f(t₀)(1−h)ⁿ zrobić drugi punkt? co zrobić z n? wiem że f(t₀) będzie = 1 , ale co z (1−h)ⁿ?

mieszkomieszko: czy teraz za n podstawiam k?

MQ: Co to znaczy "zrobić drugi punkt"? Chcesz obliczyć f(x)?

	x
no to bierzesz x=t0+nh=0+nh, stąd h=
	n

i masz:

	x		x
f(x)=f(t0+nh)=f(0+n*		)=f(t0)*(1−h)n=1*(1−		)n
	n		n

czyli wzór na f(x) dla dowolnego x jest:

	x
f(x)=(1−		)n
	n

MQ: W twoim zadaniu rzAda się, żeby n=2^k

mieszkomieszko: chyba 1/2^k z tym sobie poradziłem, doradzisz jak zrobić 3 punkt? tym razem mam f_k(h), co temu zrobić?

mieszkomieszko: ah, nie przeczytałem ostatniego postu, sory

mieszkomieszko: teraz już wgl nic nie wiem, mam x, n, k ?

MQ: f(1), za x podstawiasz 1

	1
f(1)=(1−		)n
	n

albo, jak chcesz k, to za n podstawiasz 2^k i masz

	1
f(1)=(1−		)2k
	2k

Z tą pierwszą częścią 3. nie bardzo wiem, o co chodzi.

mieszkomieszko: ale to co ty piszesz, można łatwo zamienić na liczbe eulera, (i to będzie chyba e⁻1 i wtedy nie bedzie do zależne od żadnej zmiennej. (tak na moje oko)

mieszkomieszko: doszedłem do e do −x. co moge z tym więcej zrobić?