Funkcje złożone Pepsi2092: Mam pytanie: Czy każde dwie funkcje można złożyć ? Jesli nie to jak to interpretować i odróżniać kiedy można a kiedy nie i druga kwestia to ta jak wyznaczać dziedzinę funkcji złozonych, np mam dwie funkcje f(x)=x² i g(x)=√x robię złożenie g o f i przy ustalaniu dziedziny na co patrzę ? bo tutatj po złożeniu wyjdzie funkcja |x| czyli D=R ale muszę coś wcześniej uwzględniać przy dziedzinie? Proszę o wyjaśnienie tego bo definicje książkowe średnio do mnie trafiają Pozdrawiam

PW: W napisach f(x) litera x oznacza dowolną liczbę z dziedziny funkcji, równie dobrze można napisać f(t), zaznaczając że t oznacza dowolną liczbę z dziedziny funkcji. Źle psychologicznie się dzieje, gdy używamy tej samej litery do oznaczenia dwóch różnych obiektów, wtedy powstają te wątpliwości. Formalnie napisy f(x) = x² i g(x) = √x są poprawne, ale gdy mówimy o złożeniu tych funkcji, użycie tej samej litery x jest utrudnieniem. Lepiej napisać tak: f(u) = x², x należy do R (samodzielnie ustalamy dziedzinę) g(u) = √u, u należy do R₊ (z zerem). Jeżeli pierwszą wykonywaną funkcją (wewnętrzną) ma być f, to nie ma żadnych wątpliwości: u = f(x) > 0 dla wszystkich x, a więc g(u) można obliczyć we wszystkich możliwych wypadkach: g(f(x)) = √x² = |x|, dziedziną złożenia jest R. Gdyby chciał dokonać złożenia f(g(x)) = (√x)² = x, to sytuacja jest inna: funkcja wewnętrzna g ma dziedzinę R₊, i mimo że wzór (*) (f•g)(x) = x wygląda niewinnie, trzeba pamiętać, że dziedziną tej funkcji złożonej nie są wszystkie liczby rzeczywiste, a tylko R₊. Inny przykład: f(x) = −x (samodzielnie ustalamy, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste); g(u) = √u − dziedziną są liczby nieujemne u. Złożenie da się więc wykonać tylko dla takich x, dla których u = −x jest liczbą nieujemną, a więc dla x z przedziału (−∞,0> Dziedziną złożenia (g•f) nie jest więc cała dziedzina funkcji wewnętrznej f, a jedynie ten kawałek, na którym jej wartości u=f(x) mieszczą się w dziedzinie funkcji zewnętrznej g. Podsumowując trzeba stwierdzić, że przystępując do składania funkcji należy ustalić dziedziny obydwu i sprawdzić, czy zbiór wartości funkcji wewnętrznej mieści się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Jeśli nie mieści się, to należy dokonać odpowiedniego "obcięcia". O dziedzinie złożenia nie decyduje wzór końcowy − tak jak w przykładzie (*) − a możliwość wykonania kolejnych operacji. Im dłużej piszę, tym więcej mam wątpliwości, czy się nie wygłupiam. Ustalanie dziedziny funkcji to przecież pierwszy krok w każdym zadaniu, może dałem się podpuścić?

Pepsi2092: Dzięki wielkie, na przykładzie najlepiej to pokazać Wydaje mi się, że dobrze to wyjaśniłeś bo jak robię przykłady wg tego schematu to wychodzi dobrze Pozdro