wielo zombi: Udowodnić, że jeśli m jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x³+px+q, to 3m²+p=0 i 4p³+27q²=0

Basia: W(x)= x³+px+q musi być podzielny przez (x−m)² = x² − 2mx + m² wykonujesz dzielenie x³ +px+q : (x²−2mx+m²) = x + 2m −x³+2mx² − m²x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2mx² + (p−m²)x + q −2mx² + 4m²x − 2m³ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (p−m²+4m²)x + (q−2m³) ta reszta musi być wielomianem zerowym stąd p + 3m² = 0 i q−2m³ = 0 czyli p = −3m² i q=2m³ 4p³ + 27q² = 4(−3m²)³ + 27(2m³)² = −4*17m⁶ + 27*4m⁶ = 0 czyli 4p³+27q² = 0

zombi: Aha, czyli normalne dzielnie, a ja zastanawiałem się czy można to jakoś inaczej. Okej dzięki

Basia: można jeszcze tak x³+px+q = (x−m)²*(x+b) x³+px+q = (x²−2mx+m²)(x+b) x³+px+q = x³−2mx²+m²x + bx²−2mbx + m²b x³+px+q = x³ + (b−2m)x² + (m²−2mb)x + m²b b−2m = 0 b = 2m i mamy x³+px+q = x³+(m²−4m²)x + 2m³ x³+px+q = x³ − 3m²x + 2m³ p = −3m² p+3m² = 0 q = 2m³ dalej tak samo