Wielomiany - studia Grześ: Udowodnić, że 1 jest potrójnym pierwiastkiem: W(x)=x²ⁿ−nxⁿ⁺¹+nxⁿ⁻¹−1 Wiem, że mozna to zrobić z pochodnej, ale chciałbym rozwiązanie bez jego użycia. Siedzę już dośc długo i nie potrafię znaleźć jakiegoś sprytnego pogrupowania, żeby to udowdnić. Ma ktoś jakiś pomysł?

Grześ: podbijam

Grześ: bump

Grześ: nikt nie ma pomysłu?

Grześ: bump....

Nienor: Przykro mi bardzo, ale tu raczej nie ma żadnego sprytnego grupowania

Godzio: Zaraz pomyślę, bo ciekawe zadanie

Grześ: ok, czekam na jakiś pomysł

Grześ: chyba brak pomysłu? Chyba nie idzie tego jakos normalnie rozłożyć...

Nienor: Ty myślisz, że metodą grupowania będzie łatwiej, ładniej Zdecydowania nie, oto jak się przedstawia sytuacja jak prubujemy to grupować dla n parzystych: x^4k−2kx^2k+1+2kx^2k−1−1=x^4k−1−2kx^2k−1(x²−1)= (x^2k−1)(x^2k+1)−2kx^2k−1(x−1)(x+1)=(x^k−1)(x^k+1)(x^2k+1)−2kx^2k−1(x−1)(x+1)= (x−1)(x^k−1+x^k−2+...+1)(x^k+1)(x^2k+1)−2kx^2k−1(x−1)(x+1)= (x−1)[(x^k−1+x^k−2+...+1)(x^k+1)(x^2k+1)−2kx^2k−1(x+1)]

Mila: Licz pochodne. Zdecydowanie prościej.

Godzio: Znalazłem rozwiązanie, nawet nie takie trudne, zaraz pokaże

Godzio: W(x) = 0 dla x = 1 ⇔ G(x) = W(x+1) = 0 dla x = 0 Inaczej, jeżeli pokażemy, że tak zdefiniowana funkcja G(x) ma pierwiastek trzykrotny równy 0 to funkcja W(x) będzie miała pierwiastek trzykrotny równy 1. G(x) = (x + 1)²ⁿ − n(x + 1)^{n + 1} + n(x + 1)^{n − 1} − 1 Żeby G(x) miała pierwiastek trzykrotny 0 to musi być postaci: G(x) = a_px^p + a_p−1x^p−1 + ... + a₃x³. Pokażmy zatem, że tak jest. Osiągniemy to rozpisując poszczególny człony ze wzoru dwumianu Newtona, na potrzeby zadania ograniczmy się do pokazania, że wyrazy wolne, wyrazy przy x i x² się zerują:

	2n 2n		2n 2n−1		2n 2n−2
(x + 1)2n =		+		x+		x2 + ...

	n + 1 n + 1		n + 1 n		n + 1 n − 1
−n(x + 1)n + 1 = −n(		+		x +		x2 + ... )

	n − 1 n − 1		n − 1 n − 2		n − 1 n − 3
n(x + 1)n − 1 = n(		+		x +		x2 + ... )

	2n 2n		n + 1 n + 1		n − 1 n − 1
Wyrazy wolne:		− n(		−		) − 1 = 1 − n(1 − 1) − 1 = 0

	2n 2n−1		n + 1 n		n − 1 n − 2
Wyrazy przy x:		− n(		−		) = 2n − n[n + 1 − (n − 1) ] = 0

Wyrazy przy x²:

2n 2n−2		n + 1 n − 1		n − 1 n − 3
	− n(		−		) =

	2n(2n − 1		(n + 1)n		(n − 1)(n − 2)
=		− n(		−		) =
	2		2		2

	1
=		(4n2 − 2n − n(n2 + n − n2 + 3n − 2) ) =
	2

	1		1
=		(4n2 − 2n − n(4n − 2) ) =		(4n2 − 2n − 4n2 + 2n) = 0
	2		2

Zatem 0 jest pierwiastkiem trzykrotnym funkcji G(x) ⇒ 1 jest pierwiastkiem 3 krotnym funkcji W(x).