logika mariusz: Dowodzenie zbiorów Udowodnij: a) ∅∩A = ∅ b) ∅∪A = A Wiem, że to jest oczywiste, ale jak to udowodnić?

mariusz:

mariusz:

mariusz:

Basia: przypuśćmy, że ∅∩A ≠ ∅ ⇔ ∃_x x∊∅∩A ⇔ ∃_x [ x∊∅ ∧ x∊A ] ⇒ ∃_x ∊∅ sprzeczność z definicją zbioru pustego czyli przypuszczenie było fałszywe, czyli ∅∩A = ∅

mariusz: A można zrobić to bez kwantyfikatorów? Bo jak udowadnialiśmy to bez tego, korzystając jedynie z czegoś takiego: http://matma4u.pl/topic/16188-dowodzenie-wzorow-na-zbiorach/

Basia: akurat w tym przykładzie byłoby raczej trudno

mariusz: a można? bardzo mi na tym zależy

mariusz:

Basia: x∊∅∩A ⇔ x∊∅ ∧ x∊A ⇒ x∊∅ stąd wynika, że (1) ∅∩A ⊂∅ ∅⊂B (dla dowolnego B) ⇒ (2) ∅⊂∅∩A (1)∧(2) ⇔ ∅∩A = ∅ ale strasznie to sztuczne

mariusz: Czyli to ∅∪A można udowodnić: x∊∅∪A ⇔ x∊∅ ∨ x∊A ⇒ x∊A stąd wynika, że ∅∪A ⊂ A a po co rozpatrywaliśmy B? oraz czy "⊂" oznacza zawiera sie?

mariusz:

mariusz:

mariusz:

mariusz:

Basia: 1. B użyłam tylko po to żeby się jakoś różniło od "naszego" A 2. dowód dla sumy masz poprawny w połowie pokazałeś, że ∅∪A ⊂ A i to jest dobrze jeżeli chcesz pokazać równość musisz pokazać "zawieranie" w drugą stronę a ja zrobiłabym tak: x∊∅∪A ⇔ x∊∅ ∨ x∊A ⇔ fałsz ∨ x∊A ⇔ x∊A stąd ∅∪A = A