ciągi liczbowe matura Nana: Ciag (a_n) jest okreslony rekurencyjnie a₁=2

	1
an+1 = an −
	n(n+1)

podaj wzór na wyraz ogólny ciągu a_n

Trivial:

	1
ak+1 = −		+ ak
	k(k+1)

	1
ak+1−ak = −		/ ∑k=1..n
	k(k+1)

	1		1		1		1
ak+1−a1 = ∑k=1..n −		= ∑k=1..n (		−		) =		−1
	k(k+1)		k+1		k		n+1

	1
an =		+ 1.
	n

Trivial: Ah. W trzeciej linijce powinno być a_n+1−a₁ = ...

Nana: szkoda że nie miałam ∑

Trivial: ∑ to sumowanie. Nie zauważyłem, że to do matury. Zrobię więc jeszcze raz bez znaku sumowania.

	1
ak+1 = −		+ ak
	k(k+1)

	1		1
ak+1 − ak =		−
	k+1		k

Sumujemy obie strony równania. Zaczynamy sumować od k=1. Skończymy na n−1.

	1
k = 1: a2 − a1 =		− 1
	2

	1		1
k = 2: a3 − a2 =		−
	3		2

	1		1
k = 3: a4 − a3 =		−
	4		3

....

	1		1
k = n−2: an−1 − an−2 =		−
	n−1		n−2

	1		1
k = n−1: an − an−1 =		−
	n		n−1

(+)

	1
an − a1 =		− 1
	n

Podstawiamy a₁ = 2 i mamy:

	1
an =		+1.
	n

Nana: dzięki