szeregi annie:

	1
mam zadanie		trzeba policzyc sume i pokazać zbieżność, wiem, że trzeba to
	(2n−1)2(2n+1)2

rozdzielić na dwa ułamki, próbowałam ale w odpowiedziach wychodzi im że po uproszczeniu

	1		1
liczymy granice		(1 −		. Próbowałam wymnażać i nie mogę dojść do tej
	8		(2n+1)2

	1
	8

Bardzo prosze o pomoc!

colo: Liczysz granicę z ostatniego wyrażenie, tzn. 1/8(1−....) i z tego otrzymasz, ze granica z 1/(2n+1)²=0 a w konsekwencji suma poszukiwanego szeregu wyniesie 1/8

annie: Tak, to wiem, chodzi bardziej o to, że mam problem z uproszczeniem tak aby wyszło 1 −

	1
	(2n+1)2

PW:

	1		1		1		1
an = [		]2 = [		(		−		]2 =
	(2n−1)(2n+1)		2		2n−1		2n+1

	1		1		1		2
		[		+		−		] =
	4		(2n−1)2		(2n+1)2		(2n−1)(2n+1)

	1		1		1		1		1
		[		+		− (		−		)].
	4		(2n−1)2		(2n+1)2		2n−1)		(2n+1)

Obliczając sumę a_n po n=1 do k zauważamy, że sumy dwóch pierwszych składników mają identyczne wyrazy (oprócz pierwszego pierwszej sumy i ostatniego drugiej sumy). To samo dotyczy składników w nawiasie. Tak więc nasza suma będzie równa

	1		1		1
∑k =		[1 + 2Sk−1 +		+ 1 −		],
	4		(2k−1)2		(2k+1)

	1
gdzie przez Sk−1 oznaczyliśmy sumę po n od 1 do k−1 ułamków
	(2k+1)2

	1		k
∑k =		[Sk−1 + 1 +		]
	2		(2k−1)2

	1
Przejście graniczne limk→∞∑k daje wynik, w którym pojawi się ta upragnione		(choć
	8

mam inny wynik, na wszelki wypadek sprawdź rachunki, ale idea jest chyba dobra, pod warunkiem,

	1
że ciąg Sk−1 dąży do		− tego nie sprawdziłem, to znany szereg, ale pamięć zawodzi).
	4

PW: Tak, mam oczywiście błąd w rachunkach , powinno być

	1		1		1
∑k =		[1+ 2Sk−1+		−1 +		] =
	4		(2k+1)2		(2k+1)

	1		k+1
		[2Sk−1+		]
	2		(2k+1)2

Jeżeli jeszcze raz pomyliłem się w rachunkach, to już nie będę poprawiał, dasz sobie radę. Ten edytor irytuje mnie niezmiennie i więcej zabiera uwagi niż meritum.