zad ALEKSANDRA: Znaleźć odległość między prostymi l1 i l2, gdy: L1: x=3−t y=2−t z=1+2t L2: 2x – 2y – 3z = 0 x – 2y + 4z + 2 = 0 Odp: 7√165/165

ALEKSANDRA: pomocyyy

Aga1.: Aleksandra, zapisz jeden przykład, który masz rozwiązany, to na tej podstawie pomogę Ci rozwiązać pozostałe. Umiem znaleźć odległość między prostymi równoległymi. W innych postach sprawdzałam i wychodziło mi,że nie są równoległe. Na płaszczyźnie można obliczyć odległość tylko miedzy prostymi równoległymi. A w przestrzeni? Nie wiem.

Basia: można też między skośnymi

AS: Według Bronsteina odległość między dwiema prostymi skośnymi

x − x1		y − y1		z − z1
	=		=
l1		m1		n1

x − x2		y − y2		z − z2
	=		=
l2		m2		n2

wyraża się wzorem

	A
d =		gdzie
	B

|x1 − x1 y1 − y2 z1 − z2| A = | l1 m1 n1 | | l2 m2 n2 | B = √M gdzie M = |l1 m1 |² + |m1 n1 |² + |n1 l1|² |l2 m2 | + |m1 n2 | |n2 l2 | przy czym jeżeli A = 0 to dane dwie proste się przecinają; jeżeli A ≠ 0 to proste są skośne

Aga1.: L₁ możemy zapisać tak:

	x−3
x=3−t⇒t=−x+3⇒t=
	−1

	y−2
y=2−t⇒t=−y+2⇒t=
	−1

	z−1
z=1+2t⇒2t=z−1⇒t=
	2

Równanie tej prostej l₁ w postaci kanonicznej

x−3		y−2		z−1
	=		=		.
−1		−1		2

l₂ 2x−2y−3z=0 x−2y+4z+2=0 n₁→=[2,−2,3] n₂→=[1,−2,4] Iloczyn wektorowy jest wektorem równoległym do prostej. n₁xn₂=[2,−2,3]x[1,−2,4]=−2i−5j−2k Wektor kierunkowy prostej [−2,−5,−2] Punkt na prostej wyznaczamy z danego układu przyjmując np. z=0 2x−2y=0 x−2y=−2 x=2, y=2 P(2,2,0) Równanie prostej l₂

x−2		y−2		z
	=		=
−2		−5		−2

I teraz wypadałoby sprawdzić, czy nie ma błędów rachunkowych i podstawić do wzoru, który podał AS.

AS: Poprawka (chochlik) |x1 − x2 , y1 − y2 ,... A =