łatwa nierówność zombi: Łatwa nierówność: Wykazać, że jeżeli a+b=4, a,b∊R to a²+b²≥8 a²+b²≥8 (a+b)²−2ab≥8 −2ab≥−8 ab≤4

	a+b
2≥√ab (		=2 )
	2

dostaje typowa nierówność miedzy AM i GM

a+b
	≥√ab
2

pytanie czy muszę jeszcze udowadniać: (√a−√b)²≥0

zombi: tzn. nie udowadniać, bo to jest oczywiste, chodziło mi czy musze ostatnią nierówność doprowadzić do takiej postaci...

asdf: musisz, bo wtedy udowadniasz, ze kazda liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną.

zombi: ok

PW: Nie podoba mi się ten dowód. Po pierwsze (co za paskudna maniera) wychodzisz od tezy zamiast od założenia. Można i tak, ale trzeba mieć pewność, że wszystkie kolejne nierówności są równoważne (wtedy dowodzisz więcej niż chcieli, mianowicie zamiast wynikania p⇒q pokazujesz, że q⇔p). A tu raptem liczysz pierwiastek z ab, które może być ujemne (przecież w założeniu nie ma nic o a i b). Potrzebny jest komentarz, i wcale nie jest to marudzenie.

pigor: ... słuchajcie PW ... , bo ja staram się to robić , a on naprawdę nie marudzi , tylko po prostu wie co mówi . ...

PW: Zaraz, zaraz, Tobie się podoba to przejście ab≤4 ⇔ 2≥√ab dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b? Ja wiem, że matematyk to taki, co myśli A, mówi B, pisze C (a w ogóle to powinno być D). Dlatego piszę, że potrzebny jest komentarz. To, co n a p i s a ł zombi nie broni się samo.

zombi: Coś mi nie pasowało, właśnie, z tymi a,b∊R, a tam mam √a i √b, czyli co tu poprawić PW?

zombi: A gdybym wyszedł z założenia a+b=4, ale takim sposobem, a+b=4 ⇔ a=4−b i wtedy do tezy: a²+b²≥8 2b²−8b+16≥8 2(b−2)²≥0 i to jest spelnione dla b∊R, czyli dla a też

Nienor: a+b=4 ⇒ b=4−a a²+(4−a)²=a²+16−8a+a²=2a²−2a+16 2a²−2a+16<8 a²−a+8<4 a²−a+4<0 Δ=1−16=−15 nie możliwe w liczbach rzeczywistych, czyli nie istnieje a i b spełniające nierówność, to tym bardziej to a+b nie może być równe 4, co jest sprzeczne z założeniem. A taki dowód nie wprost może być

zombi: A skąd ci się wzięło z "a²+16−8a+a²" to "2a²− 2a+16

Nienor: Ooo, ale wpadka

zombi: Nic się nie stało Czekam, może PW przyjdzie albo ktoś, żeby zobaczyć ten drugi sposób, bo on wydaje się dobry

Nienor: On jest dobry tylko raczej należałoby go zapisać tak: (b−2)²≥0 2(b−2)²≥0 2(b²−4b+4)≥0 2b²−8b+8≥0 b²+b²−8b+16−8≥0 b²+(b−4)²≥8 Z założenia b−4=a, czyli: b²+a²≥8 Bo wtedy nie wychodzisz z tezy, ale z jakiejś prostej i oczywistej nierózności zawsze spełnionej, po drodze przekształcasz ją wykorzystując założenie i dochodzisz do tezy, to wygląda bardziej elegancko mi się zdaje.

zombi: Ok!

PW: Nienor, brawo, wszystko jasne