trygonometria Saizou : Witam wszystkich, zaczynam powtórki z trygonometrii i liczę na waszą pomoc. To może na początek jakieś zadanko ;> PS. poziom rozszerzony LO

Saizou : up

funkcja: w moich postach jest trygonometria wiec prosze o pomoc.

Mila: 1) 2cos²x−5sinx=4 i x∊<0;2π> 2) α− kąt ostry

	4
tgα=
	3

oblicz sinα+cosα 3) 4cos²x=4sinx+1 i x∊<0;2π> 4) narysuj wykres funkcji

	sin2x−|sinx|
f(x)=		dla x∊(0;π)∪(2π)
	sinx

sprawdzę po 20.

Saizou : a może jakieś wkład własny

Saizou : 1) 2(1−sin²x)−5sinx−4=0 2−2sin²x−5sinx−4=0 −2sin^x−5sinx−2=0 sinx=t, t∊<1:1> −2t²−5t−2=0 Δ=25−16=9 √Δ=3

	5−3		1
t1=		=−
	−4		2

	5+3
t2=		=−2 sprzeczność
	−4

	1
sinx=−
	2

	7		11
x=		π x=		π
	6		6

Saizou : 3) 4cos²x=4sinx+1 4(1−sin²x)−4sinx−1=0 4−4sin²x−4sinx−1=0 −4sin²x−4sinx+3=0 sinx=t , t∊<−1:1> −4t²−4t+3=0 Δ=16+48=64 √Δ=8

	4−8		1
t1=		=
	−8		2

	4+8		3
t2=		=−		sprzeczność
	−8		2

	1
sinx=
	2

	π		5
x=		x=		π
	6		6

funkcja: 1. Prosta o równaniu y=3tg30^ox tworzy z prosta o równaniu y=0 kat ostry o mierze : 2. Liczba sin17^o * tg9^o jest równa liczbie : 3. Liczba (sin1^o + cos1^o)² : A. nalezy do przedzialu (0; ¹₂₀) B. nalezy do przedziału (¹₂₀ ; 1) C. jest równa 1 D. jest większa od 1 Prosze to zadania z trygonometrii.

Saizou : 4)

	sin2x−lsinxl
f(x)=
	sinx

zał: sinx≠0→x∉{0;π;2π}, czyli dziedzina to x∊(0:π), w tym przedziale sinus przyjmuje wartości dodatnie, wówczas

	sin2x−sinx
f(x)=		=sinx−1 (ta funkcja ma kolor niebieski)
	sinx

Trivial: Dlaczego w górę przesunięte? Jest sin(x) − 1, czyli przesuwamy sin(x) o jeden do dołu.

funkcja: a moje zadania ?

Saizou : miało być w dół ale wykres lubi podróżować

Saizou :

	π
3) skoro x ∊(0:		), mogę zrobić rysunek
	2

zatem z=5 (trójkąt pitagorejski) wówczas

	4
sinx=
	5

	3
cosx=
	5

4		3		7
	+		=
5		5		5

Saizou : podróży ciąg dalszy

Ajtek: Tutaj Ciebie nie poratuję, zbiorek pożyczyłem .

Ajtek: Witacie Mila , Trivial .

Saizou : a szkoda, to czekam na inną dobrą 'duszyczkę'

Trivial: Witaj.

Ajtek: Trivial, niestety nie mam pomysłu jak "pomalować" Twój nik u siebie .

Trivial: Ajtek, ja wszystkich maluję na czarno.

Ajtek: Aha .

aniabb: te o 17:22 zrobiłeś?

Saizou : jeszcze nie

Saizou : można prosić wskazówkę do 2

aniabb: sądząc po dwukropku było coś do wyboru ... nie wiem do jakiej postaci chcieli

Ajtek: Do 3 chcesz podpowiedź?

Saizou : 3 mam zrobione i 1 1) α=30 3) (sin1+cos1)²=sin²1+2sin1*cos1+2cos²1=1+sin2 >1 bo sin2>0

Ajtek: Ja chciałem tylko podpowiedzieź, żebyś skorzystał ze wzoru skróconego mnożenia .

aniabb: 0,04631

Saizou : a ja byłem cwany i wymnożyłem nawias przez nawias (ale na serio użyłem wzorku)

Ajtek: Saizou .

Saizou : no w sumie tak, przecież można z tablic odczytać

Saizou : to ma ktoś jakieś zadanko

Ajtek: Sorry za offtop, ale mam pytanie. Czy mogę znaleźć swój pierwszy post na tym forum. A jeżęli tak to w jaki sposób? Przez szukajkę mi się nie udaje .

Saizou : niestety nie mam bladego pojęcia

ZKS:

	3
4tg2(x) −		* 41/2cos2(x) = −2 w przedziale x ∊ [0 ; 2π].
	2

Ajtek: Cześć ZKS .

ZKS: Witam Ajtek.

Ajtek: Ależ kamuflaż

ZKS: Piotr mi pokazał ten kolor bo Godzio go miał przez chwilę.

Patryk: Przepraszam ze przeszkadzam ale czy w 17:22 w pierwszym nie bedzie 60 ^o ?

Saizou : no niestety nie uczyłem się jeszcze o funkcji wykładniczej

Saizou :

	√3
tak będzie 60o bo 3*		=√3, a tgα=√3→α=60o
	3

Patryk: grazie

adaś: Ajtek może spróbuj wejść na ostatnią stronę na forum i nacisnąć znajdź i wpisać swój nick ,jeżeli o to Tobie w ogóle chodzi.

ZKS: No to skoro tak to moje zadanie odpada chociaż tam jeżeli byś dobrze podstawił to byś miał funkcje kwadratową.

ZKS: Poprawię zapis jeżeli ktoś będzie sobie rozwiązywał.

	3
4tg2(x) −		* 41/(2cos2(x)) = −2
	2

Mila: Witaj, Ajtek, ZKS. Ajtek szukałam Cię wczoraj, mogę zadać Ci pytanie? Saizou, prosiłeś o zadania, wyszukałam i to jest mój wkład, ponadto obiecałam, że sprawdzę. W odpowiedziach pisz x=.. lub x= Zadanie 2) na rysunku dajesz oznaczenie 3j , 4j ,5j (albo:3x,4x,5x gdzie x−wspólna miara) zadanie 4)Wykres dokończ.brak wykresu dla x∊(π;2π)

ZKS: Witam Mila.

Saizou : Milu wielkie dzięki, co do wykresu to dałaś mi takie warunki x∊(0;π)∪(2π)

Ajtek: NIe było mnie wczoraj. Tzn może byłem ale nic nie pisałem . Jasne, że możesz .

PW: funkcjo, służę podpowiedzią do 2.Nie jest to takie trudne. Wystarczy zauważyć, że 45° − 9° = 36°. Wartości funkcji trygonometrycznych kąta 36° są znane (znajdują się w tablicach, ale nie szukać w tabeli przybliżonych wartości, lecz w tabelce pokazującej wartości dokładne dla niektórych kątów). Między innymi tg36° = √5 − 2√5. Wiadomo, że

	tgα−tgβ
tg(α−β) =		,
	1+tgαtgβ

a więc

	1−tg9°
√5 − 2√5 =
	1+1tg9°

No to można powiedzieć, że tg9° mamy. Dalej trzeba np. zauważyć, że tg60° = tg(3^.17°+9°). Stąd można wyliczyć posługując się wzorem na sumę tangensów:

	tg51°+tg9°
√3 =		.
	1−tg51°tg9°

No to można powiedzieć, że mamy tg51°. Posługując się wzorem na tangens potrojonego kąta dostaniemy

	3−tg217°
tg51° = tg17°
	1−3tg217°

Lewą stronę wyliczyliśmy (?) wcześniej, po prawej jest tylko niewiadoma tg17°, jeżeli potrafimy rozwiązać to równanie, to znajdziemy tg17°, a więc i sin17°. Koncepcja już jest, jeszcze tylko pół godziny uważnych rachunków i gotowe. Może uda się komuś z większym talentem dobrać kąty i wzory, ale łatwiejszego sposobu nie ma.

Ajtek: Mila pytaj. Nie mogę się doczekać .

Mila: Do Ajtka Mam pytanie o parking strzeżony w Warszawie, blisko Marszałkowskiej, gdzieś około 50 numeru. Chodzi mi o to, aby nie zostawiać bardzo daleko auta na 2 dni.Pozdrawiam. Saizou, oczywiście miało być dla x∊(0;π)∪(π;2π) =nieporozumienie.

Ajtek: No to mnie zabiłaś tym pytaniem . Zaczynam myśleć nad problemem .

Mila: Ajtek masz czas do wiosny.

aniabb: Na środku placu konstytucji jest duży parking

aniabb: to jest około 54 numeru

Ajtek: To jest rejon płatnego parkowania, dość rozległy, nawet bardzo rozległy . Dumam dalej

aniabb: na placu defilad chyba był strzeżony..albo tylko dozorowany

Ajtek: aniabb ale tam wszystko jest płatne.

aniabb: ale jak chce strzeżony to oczywiste że musi płacić

Saizou : dla 0<x<π h(x)=sinx−1 dla π<x<2π g(x)=sinx+1

aniabb: na placu powstańców był na 100% bo kiedyś parkowałam..ale nie wiem jaka jest teraz sytuacja jak metro robią

Ajtek: Sorrry nie doczytałem strzeżony .

aniabb: ja na początku też jak proponowałam plac konstytucji

Mila: Dziękuję Warszawiakom.Zapytam, jeszcze raz, gdy będę wyruszać do stolicy.

Ajtek: Podaj przyblizoną datę, zaokrąglij do miesięcy

Mila: Kwiecień− koniec miesiąca.

Ajtek: Ok. przyjął do wiadomości. W środku tygodnia czy weekend?

Saizou : powrót do pierwotnego pytania: ma ktoś zadana z trygonometrii poziom LO

ZKS: Podaj zbiór wartości funkcji: f(x) = sin²(x)cos⁴(x)+sin⁴(x)cos²(x)

aniabb: sprawdź tożsamość

	sinα−sin3α+sin5α
1.		=tg3α
	cosα−cos3α+cos5α

2. 2(sin⁶x+cos⁶x)−3(sin⁴x+cos⁴x)+1=0

Saizou : zadanie do ZKS sin²xcos⁴x+sin⁴xcos²x=sin²xcos²(cos²+sin²)=sin²cos²x=(sinxcosx)²

	1
sinxcosx, maksymalnie przyjmują wartość		, bo bo największą wartością jaką przyjmuje sinx
	4

	√2		√2		√2		1
i cosx dla tego samego kąta to		, czyli		*		=		, a to
	2		2		2		2

	1
podniesione do kwadratu da		,
	4

	1
zatem ZW=<0:		>
	4

ZKS:

	1
Saizou dobrze tylko mogłeś zauważyć że sin(x)cos(x) =		sin(2x) więc
	2

	1		1
(		sin(2x))2 =		sin2(2x) a stąd już wszystko widać.
	2		4

Saizou : może jakaś podpowiedź

Saizou : sin²+cos²x=1 /² sin⁴+2sin²xcos²+sin⁴=1 sin⁴+cos⁴=1−2sin²xcos²x sin⁴x+cos⁴=1−2cos²x(1−cos²x) sin⁴x+cos⁴=1−2cos²x+2cos⁴x sin²x=1−cos²x /³ sin⁶x=1−3cos⁴x+3cos²−cos⁶x sin⁶x+cos⁶x=1−3cosx⁴+3cos² 2(1−3cosx⁴+3cos²)−3(1−2cos²x+2cos⁴x)+1= 2−6cos⁴x+6cos²x−3+6cos²x−6cos⁴x+1= −12cos⁴+12cos²x= 12cos²(1−cos²)= 12cos²x*sin²x= 3*(2cosxsinx)²= 3(sin(2x))²=3*sin²2x i dalej nie wiem co

Saizou :

Eta: Ale o co chodzi? jaka treść zadania? ( bo nie wiem?

Saizou : post aniibb z 19:05

Eta: zastosuj : 2/ a⁶+b⁶= (a²+b²)(a⁴−a²b²+b⁴) i po ptokach

Saizou : a dlaczego to nie chało wyjść moim sposobem

Eta: Też powinno, ale nie chce mi się sprawdzać, bo już ledwie na oczy widzę

Saizou : już znalazłem błąd, siedział sobie tutaj sin²x=1−cos²x /3 sin⁶x=1−3cos⁴x+3cos²−cos⁶x , a powinno być sin⁶x=1−3cos²x+3cos⁴x−cos⁶x

Eta: No i "gitara"

Saizou : 2(1−3cos²x+3cos⁴x)−3(1−2cos²x+2cos⁴x)+1= 2−6cos²x+6cos⁴x−3+6cos²x−6cos⁴x+1=0 L=P

Eta: Moim sposobem: L=2(sin²x+cos²x)(sin⁴x−sin²x*cos²x)−3sin⁴x−3cos⁴x+1= = −(sin⁴x+2sin²x*cos²x+cos⁴x)+1= −(sin²x+cos²x)²+1 = −1+1=0 =P

Saizou : tak to jest jak się nie zna wzorków

Eta: Chochlik tam w drugim nawiasie ( na początku) powinno być ( sin⁴x−sin²x*cos²x+cos⁴x)

Eta: Wniosek: najwyższy czas je poznać

Saizou : lub też zacząć robić zadania z kartą wzorów (chociaż ja ie lubię jej używać )

Eta: Dlaczego? .... "głowa nie śmietnik" ....i karta bardzo pomaga

Saizou : ewentualnie używam jej do sprawdzania czy dobrze pamiętam wzory

Eta: A zad 2/ ?

	2sin3α*cos2α −sin3α		sin3α(2cos2α−1)
L=		=		=tg3α
	2cos3α*cos2α−cos3α		cos3α(2cos2α−1)

L=P

Saizou : nie było zrobione

Eta: No to już jest !

Saizou : to może jeszcze jakieś zadanko

Saizou : up

aniabb: sin³x(1+ctgx)+cos³(1+tgx)=cos2x

aniabb: sin³x(1+ctgx)+cos³x(1+tgx)=cos2x

aniabb: i na 100 tożsamość ...

	sin(x+y+z)
tgx+tgy+tgz =
	cosx + cosy + cosz

Saizou :

	cosx		sinx
L=sin3x+sin3x*		+cos3x+cos3*		=
	sinx		cosx

=sin³x+cos³x+sin²x*cosx+cos²x*sinx= =sin³x+cos³x+(1−cos²x)cosx+(1−sin²x)sinx= =sin³x+cos³x+cosx−cos³x+sinx−sin³x= =cosx+sinx P=cos2x=cos²x−sin²=(cosx+sinx)(cosx−sinx) L≠P

aniabb: pierwsze to równanie..masz policzyć x

Saizou : cosx+sinx=(cosx+sinx)(cosx−sinx) (cosx+sinx)−(cosx+sinx)(cosx−sinx)=0 (cosx+sinx)(1−(cosx−sinx))=0 cosx=−sinx lub 1−cosx=sinx

	π		3π		π
x=−		+2kπ lub x=		+2kπ lub x=2kπ lub x=		+2kπ gdzie k∊C
	4		4		2

Saizou : jak bym wiedział jak obliczyć sin(x+y+z) to był bym szczęśliwy

aniabb: a dziedzina

Saizou :

	π
x≠		+kπ
	2

	π
y≠		+kπ
	2

	π
z≠		+kπ
	2

cosx+cosy+cosz≠0 i tu się pojawia problem

aniabb: np ze wzoru na sumę sin((x+y) +z) i potem 2 raz

aniabb: do poprzedniego dziedzina

Saizou : a o tym to nie pomyślałem

Saizou :

	kπ
x≠
	2

Saizou : czyli 2 ostatnie odpowiedzi odpadają

aniabb: a dlaczego −π/4

Saizou : odpada bo dziedzina

aniabb: a nie ..ok jest dobrze

Saizou : nie wypada przecież

	π
to jest −		=−45o a dziedzina jest 90ok
	4

Eta: A takie Wykaż ,że dla kątów ostrych α,β,γ i α+β+γ= 90^o

	α+β		α+γ		β+γ
zachodzi : cosα+cosβ+cosγ= 4cos		*cos		*cos
	2		2		2

Saizou : Eto wzorków typu cosα+cosβ nie ma w liceum http://www.cke.edu.pl/images/stories/Inf_mat_08/mat_informator_10.pdf na stronie 16 znajduje się co "powinienem" umieć

mika: potrzebuję zadanie z trygonometrii, akurat poziom rozszerzony LO mogę liczyć na pomoc ? ;>

Saizou : α=x β=y γ=z x+y+z=90 i x,y,z są kątami ostrymi

	x+y		x+z		y+x
cosx+cosy+cosx=4*cos		+*cos		*cos
	2		2		2

	x+y		x+z		y+x
P=4*cos		+*cos		*cos		=
	2		2		2

	z		y		x
4*cos(45+		)+*cos(45+		)*cos(45+		)=
	2		2		2

	z		z		y		y
4*(cos45*cos		+sin45*sin		)(cos45*cos		+sin45*sin		)(cos
	2		2		2		2

	x		x
45*cos		+sin45*sin		)=
	2		2

√2

z

z

y

y

x

x

4*(

)3(cos

+sin

)(cos

+sin

)(cos

+sin

)=

2

2

2

2

2

2

2

z

z

y

y

x

x

√2(cos

+sin

)(cos

+sin

)(cos

+sin

)

2

2

2

2

2

2

	sinx		siny		sinz
L=cosx+cosy+cosz=		+		+		=
	cosx		cosy		cosz

sinxcosy+cosxsiny		sinz		sin(x+y)		sinz
	+		=		+		=
cosx*cosy		cosz		cosxcosy		cosz

sin(x+y)cosx+sinz(cosxcosy)
cosxcosycosz

i dalej nie mam pomysłu

Eta:

Godzio: Moje zadanku sprzed dwóch lat !

Eta: