szeregi michał: Wskazówki do liczenia szeregów. Mógłyś ktoś mnie tego nauczyć?

michał:

ICSP: Jedna wskazówka : Rób dużo zadań.

michał: A mógłbyś napisać jak się to bada? Czym dokładnie .

ICSP: Kryteriami się bada. Na pewno miałeś na ćwiczeniach. Każdy szereg bada sie innym kryterium wiec niestety nie mogę Ci napisać wszystkiego dokładnie. Jak już mówiłem − zadania, zadania, zadania

michał:

	n3 + π
A mógłbyś rozwiązać to: ∑∞x = 1		? Bo najszybciej uczę się na
	nπ + e

przykładach

ICSP: a gdzie jest x ?

michał: miałobyć n = 1 przepraszam

ICSP:

	nπ
na moje oko wystarczy wziąć z bn =		i z kryterium ilorazowego pokazać co trzeba.
	n3

Mogę się oczywiście mylić

ICSP:

	n3
grr bn =		oczywiście
	nπ

michał: kryterium ilorazowego nie miałem.

Krzysiek: Lepiej sprawdzić warunek konieczny (od tego zaczynamy−jeżeli potrafimy policzyć)

ICSP: Krzysiek mi się zdaje ze warunek konieczny tutaj zachodzi.

Krzysiek: aaa bo tam jest n^π a nie nπ To wtedy jak najbardziej kryterium ilorazowe jest najlepsze w tym przypadku.

michał: a warunek konieczny to jaki? ogólnie nie chodziłem na zajęcia przez 2 tygodnie i staram nadrobić się zaległości. moglibyście pokrótce napisać jak się sprawdza takie szeregi? Byłbym bardzo wdzięczny.

ICSP: a Krzysiek można to ograniczyć tak :

	n3
an >
	nπ

Wtedy z porównawczego można Tylko nie jestem pewien tego ograniczenia

ICSP: michał nie da się wytłumaczyć od tak szeregów Ogólnie polecam Ci książce Analiza matematyczna autorstwa Krysickiego i Włodarskiego. Tam szeregi są dobrze opisane. Na pewno znajdziesz tą książkę w bibliotece akademickiej

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=(n%5E3%20%2Bpi)%2F(n%5E(pi)%20%2Be)%20%3En%5E3%20%2Fn%5E(pi) więc jak widać, można tak warunek konieczny zbieżności szeregu: a_n →0 więc jeżeli: a_n nie zmierza do zera to ∑a_n jest rozbieżny

ICSP: oczywiście przy n idącym do nieskończoności

Krzysiek: granice ciągu tylko dla n→∞ liczymy

michał: a masz może jakieś wskazówki jak korzystać z kryterium porównawczego? czyli w jaką stronę dana nierówność

Krzysiek: w liczniku i mianowniku zawsze patrzymy tylko na to co najszybciej zmierza do ∞.

	2n2 +n
np.
	n4 +3

	2n2		2		2		2n2 +n
czyli		=		i ∑		zbieżny więc i ∑		jest zbieżny
	n4		n2		n2		n4 +3

(co trzeba udowodnić korzystając z kryterium, bo na razie to tylko tak nam się wydaje.

michał: Ale bardziej chodziło mi o to jakie nierówności dawać np.:

	1		1
a) ∑n = 1∞ =		≤
	n2 + 1		n2

Dlaczego ta nierówność w lewo, a nie w prawo.

	5n2 − 1
b) ∑n = 1∞ =		≥
	n3 + 6n2 + 8n + 47

I tutaj odwrotnie nierówność. Dlaczego? Mógłby jakoś fajnie to wytłumaczyć?

Krzysiek: dlatego, że: a) patrząc na największe potęgi:

1		1		1
	, wiemy że: ∑		jest zbieżny zatem przypuszczamy, że i ∑		będzie
n2		n2		n2 +1

	1
zbieżny więc musimy szacować od góry ciąg:		aby skorzystać z kryteirum
	n2 +1

porównawczego. b)największe potęgi:

5n2		5
	=
n3		n

	5
i ∑		rozbieżny więc i zapewne ten szereg z zadania będzie rozbieżny więc aby to wykazać
	n

z porównawczego jego rozbieżność szacujemy ciąg od dołu.

michał: a skąd wiemy, że są zbieżne i rozbieżne ?

Krzysiek: z twierdzenia... ∑1/n^α jest zbieżny dla α.... rozbieżny dla α...

michał:

	5		5
w sensie ∑		jest rozbieżny? a np.: ∑		zbieżny?
	n		n2

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_(matematyka)

michał: ok to możę zrobię parę przykładów:

	1		1		1
a) ∑n = 1		≤		Zatem ∑		jest zbieżny
	n2 + 1		n2		n2

	1
b) ∑n = 2		i co teraz? jak to znaleźć?
	n2 − 1

Krzysiek:

	1		1		1		1
a)		≤		i ∑		zbieżny ⇒∑		zbieżny.
	n2 +1		n2		n2		n2 +1

b) zależy czy sądzisz że ten szereg będzie zbieżny czy rozbieżny/ wtedy szacujesz od dołu/od góry...

michał:

	1
patrząc na to co pisałeś, to będzie zbieżny bo ∑		?
	n2

michał:

Krzysiek: no tak, więc musisz ograniczyć tak by nierówność się zgadzała.

1		A
	≤
n2 −1		n2

i teraz trzeba dobrać tak; "A" by ta nierówność zachodziła (wystarczy aby zachodziła od pewnego 'n' )

michał: może być:

1		2
	≤
n2 − 1		n2

1. dla n = 1 0 ≤ 2 2. dla n = 2

1		2
	≤
3		4

3. dla n = 3

1		2
	≤
8		9

4. dla n = 4

1		2
	≤
15		16

Krzysiek: ok może być, tylko dla n=1

	1
otrzymujesz:		...
	0

więc po prostu nierówność zachodzi od n=2

michał: aha ok

	1 + n		n + 1		n		1		1
c)		=		≥		=		*		−> rozbieżny ok?
	n2 + 1		n2 + 1		n2 + n2		2		n

Krzysiek: szacowanie ok.

michał: a reszta?

michał:

michał:

michał:

michał:

Krzysiek: za duże skróty myślowe...

1+n		1		1		1		1
	≥				i		∑		rozbieżny więc na mocy kryterium
n2 +1		2		n		2		n

	1+n
porównawczego ∑		rozbieżny... Musisz to wszystko pisać.
	n2 +1

michał:

	1
a jak obliczyć coś takiego: ∑∞n=1		?
	√n2 + 2n

Krzysiek: największa potęga w mianowniku to: √n² =n

	1
∑		rozbieżny więc szacuj od dołu.
	n

michał:

	1		1		1		1
∑		≥		=		= 1 +
	√n2 + 2n		√n2 + 2n + 1		n + 1		n

	1		1
Zatem ∑		− rozbieżny więć ∑		również rozbieżny ok?
	n		√n2 + 2n

Krzysiek: a skąd ostatnia równość?...

1		1		1
	≥		=
n+1		n+n		2n

michał: czyli zawsze musimy sprowadzić do postaci gdzie będzie mnożenie? nigdy dodawanie czy odejmowanie ?

Krzysiek: ale przecież ta ostatnia równość nie zachodzi...Stąd szacowanie jest złe.

michał: ok

	1
f)
	(2n − 1) * 22n − 1

Korzystam z kryterium D'Alemberta

	an + 1		1   2n + 1 * 22n + 1
|		| =		=
	an		1   (2n − 1) * 22n − 1

	(2n − 1) * 22n − 1
=		=
	(2n + 1) * 22n + 1

22n   (2n − 1) *   2
	=
(2n + 1) * 22n * 2

	(2n − 1) * 22n
=		=
	4 * (2n + 1) * 22n

	2n − 1		2n − 1		1   2 −   n		2
=		=		=		=		< 1
	4*(2n + 1)		8n + 4		4   8 +   n		8

więc ciąg jest zbieżny ok?

Krzysiek: ok, tylko na końcu nie = tylko →2/8

Krzysiek: aha i szereg jest zbieżny.bo ciąg musi zmierzać do zera(aby szereg był zbieżny)

michał:

	1
g)
	(2n + 1)!

Korzystam z kryterium D'Alemberta

	an + 1		(2n + 1)!		(2n + 1)!
|		| =		=		=
	an		(2n + 3)!		(2n + 1)! * (2n + 2)(2n + 3)

	1		1   n		0
=		=		→		→ 0
	(2n + 2)(2n + 3)		2   3   (2 + )(2 + )   n   n		4

czyli jest zbieżny ok?

Krzysiek: ok

michał:

	1		1		1		1
h) ∑ n = 1		=		≤		Na podstawie ∑
	(n + 1)(n + 4)		n2 + 5n + 4		n2		n2

	1
jest zbieżny więc szereg ∑		też jest zbieżny.
	(n + 1)(n + 4)

	n2
i) ∑ n = 1		znowu kryterium D'Alemberta.
	3n

	an + 1		(n + 1)2   3n + 1
|		| =		=
	an		n2   3n

(n + 1)2 * 3n		n2 + 2n + 1		2   1   1 + +   n   n2
	=		=
3n + 1 * n2		3 * n2		3

	1
→		< 1 zatem ciąg jest zbieżny
	3

ok?

Krzysiek: h) ok, tez jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego i)ok tylko znów brakuje oznaczenia że liczysz granice...

michał:

	n
j) ∑n = 1 (		)n
	2n + 1

Kolejny raz korzystam z kryterium D'Alemberta:

	an + 1		n   ( )n + 1   2n + 1
|		| =		=
	an		n   ( )n   2n + 1

	n		1		1
=		=		→		< 1 Zatem zbieżny.
	2n + 1		1   2 +   n		2

Czy to jest poprawne czy można zrobić tego warunkiem Cauch'ego ?

	n + 1   ( )n3   n
h) ∑n = 1
	3n

Kryterium D'Alemberta

	an + 1		(( (n+2)/(n+1) ))(n+1)3   3n+1
|		| =		=
	an		(( (n + 1)/n))n3   3n

n+2   ( )(n+1)3 * 3n   n+1
n + 1   ( )n3 * 3n + 1   n

i jak to przekształcić? [nie piszę, że obliczam granicę bo chcę zrobić jak największą ilość przykładów dzisiaj natomiast na kartce mam zapisane pisanie tego w edytorze jest troche czasochłonne

Krzysiek: j) jak liczysz: a_n+1 to wszystkie 'n' zamieniasz na 'n+1' więc to jest źle rozwiązane... Wystarczy skorzystać z kryterium Cauchyego i policzyć lim ⁿ√a_n h) to samo kryterium Cauchyego

michał: A mógłbyś na przykładzie h) pokazać jak to obliczyć za pomocą kryterium Cauch'ego ? Bo wiem, że coś takiego jest ale jeszcze nigdy tego nie stosowałem.

Krzysiek:

	((n+1)/n )n2		1		1
n√an =		=		[(1+1/n)n]n →		e∞ =∞
	3		3		3

zatem szereg rozbieżny

michał:

	n
ok, czyli j) ∑n = 1 (		)n z kryterium Cauch'ego:
	2n + 1

	n		n		1		1
∑n = 1 n√(		)n =		=		→		< 1 zatem jest
	2n + 1		2n + 1		1   2 +   n		2

zbieżny ok?

Krzysiek: tak

michał: mam problem z takim przykładem:

	1
∑n = 2		wiem, że z kryterium porównawczego, ale nie wiem jak go
	(n − 1)√n + 1

zastosować mógłbyś pomóc ?

Krzysiek: a jak myślisz będzie zbieżny czy rozbieżny szereg?

michał: ten pierwiastek mnie myli, ale: (n − 1) * √n + 1 = √n³ + n² − √n + 1 i właśnie nie wiem

Krzysiek: (n−1) na zbieżność/rozbieżność wpływa: n √n+1 na zbieżność/rozbieżność wpływa: √n ogólnie chodzi, że: (n−1)~n √n+1~√n ~asymptotyczna równość zatem: n√n=n^3/2

	1
i ∑		jest zbieżny więc szacuj od góry
	n3/2

michał:

	1		1
∑n = 2		≤
	(n − 1) * √n + 1		(n − 1)3/2

i jak to zakonćzyć mógłbyś napisać?

Krzysiek: n−1≥n/2

1		2
	≤
n−1		n

√n+1≥√n

1		1
	≤
√n+1		√n

michał: nie rozumiem twojego zapisu, co do czego?

michał: mógłbyś jakoś to łatwiej wytłumaczyć? czy moje jest źle?

Krzysiek:

1		2		1		2
	≤		*		=
(n−1)√n+1		n		√n		n√n

	1
a Twoja nierówność zachodzi ale czy wiesz,że ∑		jest zbieżny?
	(n−1)3/2

michał: teraz rozumiem dziękuję bardzo

	n + 1
∑√		a taki przykład to jakim ?
	n

michał: jaki warunek konieczny jest aby ciąg był zbieżny? lub niezbieżny?

Krzysiek: warunek konieczny aby szereg był zbieżny: a_n musi zmierzać do zera

michał: nie widzę rozwiązania dla tego przykładu mógłbyś pomóc?

Krzysiek: policz lim a_n

michał:

	n + 1		1   1 +   n
lim an =		=		→ 1
	n		1

Krzysiek: więc nie jest spełniony warunek konieczny zatem szereg rozbieżny

michał: a z którego to kryterium?

Krzysiek: po prostu to jest tw. i z reguły na początku się sprawdza warunek konieczny a dopiero potem korzysta się z kryteriów

michał: czyli w przypadku:

	n
∑n = 1		również sprawdzamy czy spełniony jest warunek konieczny:
	2n − 1

	n		1		1
zatem an =		=		→		. Jest spełniony zatem ciąg jest zbieżny.
	2n − 1		1   2 −   n		2

i koniec?

Krzysiek: no jak jest spełniony jak 1/2≠0 ...

Krzysiek: po drugie to jest warunek konieczny a nie wystarczający czyli, jeżeli a_n →0 to nic nie wiesz ale jeżeli lim a_n ≠0 to wtedy ∑a_n jest rozbieżny

michał: aha czyli musi być z zerem, a czy on jest zbieżny?

Krzysiek: no przecież napisałem wyżej... w powyższym przykładzie a_n →1/2 zatem ∑a_n jest rozbieżny

michał: aha dziękuję pięknie po prostu przeczytałem to jak wysłałem swój post. czyli w tym wypadku:

	1
∑n = 1
	√n2 + n − n

1		√n2 + n + n		1   n√1 + + n   n
	=		=		=
√n2 + n − n		n2 + n − n		n

	1   √1 + + 1   n
=		→ 2 więc rozbieżny
	1

dobrze?

Krzysiek: tak

michał:

	n2
∑n = 1
	n!

Z kryterium D'Alemberta:

	an + 1		(n + 1)2   (n + 1)!
|		| =		=
	an		n2   n!

	(n + 1)2 * n!		(n + 1)2
=		=		=
	n2 * (n + 1)!		n2 * (n + 1)

	n2 + 2n + 1		1   2   1   + + n   n2   n3		0
=		=		→		= 0
	n3 + n2		1   1 +   n		1

Zatem szereg jest zbieżny ?

Krzysiek: tak

michał:

	2n
a) ∑n = 1
	n4

Znowu kryterium D'Alemberta

	an + 1		2n + 1   (n + 1)4
|		| =		=
	an		2n   n4

	2n + 1 * n4		2 * n4
=		=		i co teraz?
	2n * (n + 1)4		(n + 1)4

Krzysiek:

n4
	→1
(n+1)4

zatem całość zmierza do 2>1 więc szereg rozbieżny

ICSP: ja bym i tak warunkiem koniecznym to potraktował xD

michał: a możesz rozpisać jakim on sposobem zbiega do 1?

Krzysiek:

	n
(		)4 →14 =1
	n+1

michał: dziękuję

	1000n
∑n = 1
	(n!)1/10

Kryterium D'Alemberta:

	an + 1		1000n + 1   (n + 1)!1/10
|		| =		=
	an		1000n   (n!)1/10

	1000n + 1 * (n!)1/10
=		=
	1000n * (n + 1)!1/10

	1000 * (n!) 1/10		1000
=		=		→ 1000 zatem rozbieżny?
	(n + 1)!1/10		(n + 1)1/10

Krzysiek: zatem zbieżny bo ten ciąg zmierza do zera.

michał: to w którym momencie się pomyliłem ?

Krzysiek: na samym końcu przecież w mianowniku masz 'n' więc ułamek zmierza do zera

michał: jak otrzymuje n, mógłbyś o rozpisać? bo nie bardzo widzę

michał:

Krzysiek:

	1000		1000
no przecież:		→		=0
	(n+1)1/10		∞

michał: ok, dziękuję bardzo za poświęcony czas miałbyć może jutro chwilkę na wytłumaczanienie liczenia promienia szeregów?

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy Wieczorem pewnie będę, ale przecież jest tu wiele osób które pomogą więc pisz jutro zadania i czekaj na pomoc