równanie trygonometryczne Oliwka552: sinx +cosx +2sinxcosx=1

Oliwka552: jak to zrobić?

ZKS: Na pewno tak to wygląda zadanie?

Oliwka552: napewno

ZKS: Studia czy liceum?

Oliwka552: liceum

ZKS: sin(x) + cos(x) + 2sin(x)cos(x) + 1 = 2 sin²(x) + 2sin(x)cos(x) + cos²(x) + sin(x) + cos(x) = 2 (sin(x) + cos(x))² + sin(x) + cos(x) = 2

	π		π
(√2sin(x +		))2 + √2sin(x +		) = 2
	4		4

	π
√2sin(x +		) = t ∊ [−√2 ; √2]
	4

t² + t = 2 t² + t − 2 = 0 Δ = 1 + 8 √Δ = 3

	1 − 3
t1 =		= −1
	2

	1 + 3
t2 =		= 2 sprzeczność z założeniem
	2

	π
√2sin(x +		) = −1
	4

	π		1
sin(x +		) = −
	4		√2

	π		5		π		7
x +		=		π + k * 2π ∨ x +		=		π + k * 2π
	4		4		4		4

	3
x = π + k * 2π ∨ x =		π + k * 2π
	2

ZKS: Przepraszam za błąd.

	−1 − 3
t1 =		= −2 sprzeczność z założeniem
	2

	−1 + 3
t2 =		= 1
	2

	π
√2sin(x +		) = 1
	4

	π		1
sin(x +		) =
	4		√2

	π		π		π		3
x +		=		+ k * 2π ∨ x +		=		π + k * 2π
	4		4		4		4

	π
x = k * 2π ∨ x =		+ k * 2π
	2

Oliwka552: dzięki wielkie

colo: sinx+cosx+2sinxcosx=1 sinx+cosx+2sinxcosx=sin²x+cos²x sinx+cosx= (sinx−cosx)² teraz należy skorzystać ze wzoru redukcyjnego: cosx= sin(π/2−x) aa dalej ze wzoru: sinb+sinc=2sin(b+c/2)cos(b−c/2) z lewej strony dostaniemy: √2cos(x−π/4) natomiast z prawej strony dostaniemy: 2sin²(x−π/4) czyli otrzymujemy: √2cos(x−π/4)=2sin²(x−π/4) teraz wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej: sin²(x−π/4)+cos²(x−π/4)=1 otrzymamy: cos²(x−π/4)−√2/2cos(x−π/4) −1=0 Tutaj należy rozwiązać tylko równanie kwadratowe. Według mnie powinno wyjść: x=2kπ lub x=π/2 + 2kπ i k∊C C−liczba całkowita

ZKS: Proszę.