równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Dżastina: Rozwiązać podane zagadnienia początkowe (1+t²) dy−(1+y²)dt=0 y(1)=0

Artur z miasta Neptuna: Arctg y = arctg t + c

Dżastina: To rozumiem y=tg (arctg t + c) Podstaiwam y(1)=0 i coś tam wychodzi.. Problem w tym, ze w książce odpowiedź całkiem odbiega od tego... Odp: y(t)=(t−1)/(t+1)

Dżastina: to zadanie z gwiazdką z ksiązki o równaniach, autor: Gewert i Skoczylas

Dżastina: a z równań jednorodnych coś takiego : y' dt+t² dy=ty dy ?

Dżastina: y'=(1−y/t) dy/dt i co dalej? co zrobić z tym dy/dt ? Bo wiem, że stosuje sie podstawienie dalej..

Krzysiek: W tamtym zadaniu odpowiedź w książce jest zła albo nie dotyczy tego zadania. Co do Twojego ostatniego postu.. coś za dużo tych dt , dy y'...

	dy
przecież y' =		...
	dt

Dżastina: To starsze wydanie książki, stąd może te błedy w odpowiedziach... a w tym drugim przykładzie to źle przepisałam przykład rzeczywiście.. Gapa ze mnie Powinno być y² dt+t² dy=ty dy.. A to dam rade rozwiązać

MQ: @Krzysiek W książce jest dobra odpowiedź. Można przekształcić y=tg(arctg(t) +C) z warunkiem y(1)=0 na postać

	t−1
y=
	t+1

Dżastina: A można coś jaśniej? po podstawieniu y=tg(arctg(t)+c) 0=tg(Pi/4+c) A co dalej?

Krzysiek: Dzięki MG, wystarczyło skorzystać ze wzoru na różnicę kąta tangensa. Na pierwszy rzut oka wydawało mi się, że nie da się otrzymać takiej postaci.

MQ: Np. C+π/4=0 ==>C=−π/4

	tg(arctg(t)) − tg(π/4)		t−1
y=		=
	1+tg(arctg(t))*tg(π/4)		1+t

Dżastina: Hm... Wzór na sume kąta tg? tg(a+b)= (tg a +tg b)/(1− tg a * tg b) Po podstaiweniu wyliczamy, że c=1 Powracając do y=tg (arctg( t) +c)=tg (arctg (t )+1)=.....?

Dżastina: Ale przed c mam znak +, więc chyba na sumę? A dalej to zastosowano podstawienie: tg(arctg(t))=t?

MQ: Ad 1. Ale tg(−π/4)=−tg(π/4) Ad 2. tak

Dżastina: Twoje rozw jest ok Jednak chodzi mi o to, że y=tg (arctg( t) +c) Rozbijając to w ogólnej postaci (tg(arctg(t)) −+tg(c))/(1−tg(arctg(t))*tg(c)) Ale w sumie nie wiemy jakie to c jest... moze byc faktycznie i ujemne i dlatego tak rozw.. Rozumiem To nie był zbyt łatwy przykład

MQ: y(1)=0 stąd tg(arctg(1)+C)=0 tg(π/4+C)=0 π/4+C=kπ c=−π/4+kπ Podstaw sobie c do wzoru, to ci wyjdzie. Ja pominąłem kπ, bo nie chciało mi się tyle pisać, ale wychodzi to samo.