dlugosci bokow trojkata Zuzia: Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa 1/3 długości jednej z wysokości trójkąta.

Zuzia: kto pomoże

Bogdan: Ciąg arytmetyczny (a_n): a₁ = a−r, a₂ = a, a₃ = a+r.

	a*h		a−r + a + a+r
Pole trójkąta P =		oraz P =		* k
	2		2

a*h		a−r + a + a+r		1
	=		* k ⇒ a*h = 3a*k ⇒ h = 3k ⇒ k =		h
2		2		3

PW: Oznaczmy symbolem r różnicę ciągu arytmetycznego. Boki trójkąta mają długości a, a+r, a+2r. Wiadomo, że promień R okręgu wpisanego poprowadzony do punktu styczności z bokiem trójkąta jest prostopadły do tego boku, a więc pole P trójkąta można obliczyć jako sumę trzech trójkątów o wysokościach R: 2P = aR + (a+r)R + (a+2r)R (liczę podwojone pola, żeby nie pisać ułamków). Rysunek zrobisz samodzielnie. 2P = 3aR + 3rR 2P = 3(a+r)R. Jeżeli symbolem h oznaczymy wysokość trójkąta opuszczoną na bok o długości (a+r), to 2P = (a+r)h, a więc (a+r)h = 3(a+r)R, h = 3R

	h
R =		,
	3

co należało udowodnić. No i okazałem się o 8 minut gorszy niż Bogdan. Pora spać.

Bogdan: