Udowodnij niewymierność: 1) p{n(n+1)} 2) p{n+1}-p{n} prosze o pomoc :) aqlec: Udowodnij niewymierność: 1) √n(n+1) 2) √n+1−√n prosze o pomoc

aqlec:

aqlec:

Maslanek:

aqlec:

aqlec:

Beti: Proponuję, żebyś podał/−a treść tego, co trzeba udowodnić.

Basia: wydaje mi się, że treść została napisana, nieco inaczej ale czytelnie udowodnij, że √n(n+1) i √n+1−√n są liczbami niewymiernymi dla dowolnego n∊N

Godzio: Załóżmy nie wprost, że liczba √n(n+1) jest wymierna wówczas:

	p
√n(n+1) =		⇔ n(n+1) * q2 = p2 NWD(p,q) = 1
	q

n ma pewien rozkład na czynniki pierwszy, tzn. n = k₁*k₂*...*k_k k₁ * k₂ * ... * k_k(k₁ * k₂ * ... * k_k+1)q² = p², zatem z faktu, że k₁,...,k_k są pierwsze, wynika, że p = m * (k₁*...*k_k)(k₁*...*k_k+1) wobec tego: q² = m² * (k₁*...*k_k)(k₁*...*k_k+1) używając tego samego argumentu mamy, że q = w * (k₁*...*k_k)(k₁*...*k_k+1), sprzeczność bo p,q względnie pierwsze

Basia: oczywiście dla każdego n∊N₊ dla n=0 √n(n+1) = 0∊W −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− przypuśćmy, że √n(n+1) ∊W ⇔

	k
istnieją takie k,m∊C, że √n(n+1) =		i jest tu ułamek nieskracalny ⇒
	m

	k2
n(n+1) =		i to też jest ułamek nieskracalny ⇒
	m2

m² = 1 bo n(n+1)∊N ⇒ n(n+1) = k² n² + n = k² ponieważ n²+n>n² to k²>n² to ( k>n lub k<−n) ⇒ (k=n+r lub k= −n−r) gdzie r>0 i r∊C⇒ 1. n²+n = (n+r)² n²+n = n²+2nr + r² n − 2nr = r² n(1−2r) = r² r>0 i r∊C ⇒ 1−2r<0 ⇒ n(1−2r)<0 ⇒ r²<0 sprzeczność 2. n²+n = (−n−r)² = (n+r)² co tak samo dale sprzeczność czyli założenie było fałszywe czyli √n(n+1) jest liczbą niewymierną dla każdego n≥1 a jak to już jest udowodnione to udowodnienie drugiego powinno być proste