Wykaż, że... (Kombinatoryka) Emily: zadania z symbolem Newtona: 1) Wykaż, że jeśli k∊N, n∊N i k<n, to (n k) + (n k+1) = (n+1 k+1). 2) Zbadaj monotoniczność ciągu (a_n) o wyrazie ogólnym a_n = [(n+1)! − n!] / [(n+1)! + n!].

Emily: ...

irena_1:

n k		n k+1		n!		n!		(k+1)n!+n!(n−k)
	+		=		+		=		=
				k!(n−k)!		(k+1)!(n−k−1)!		(k+1)!(n−k)!

	n!(n−k+k−1)		n!(n+1)		(n+1)!
=		=		=		=
	(k+1)!(n−k)!		(k+1)!(n−k)!		(k+1)!(n−k)!

	n+1 k+1
=

irena_1:

	(n+1)!−n!		n!(n+1−1)		n
an=		=		=
	(n+1)!+n!		n!(n+1+1)		n+2

	n+1
an+1=
	n+3

	n+1		n		(n+1)(n+2)−n(n+3)
an+1−an=		−		=		=
	n+3		n+2		(n+2)(n+3)

	n2+3n+2−n2−3n		2
=		=		>0
	(n+2)(n+3)		(n+2)(n+3)

Ciąg jest rosnący