Szeregi Marta: zbadaj zbieżność szeregów: ∞ ∑ (−3n)ⁿ / (n+4)ⁿ n=1 ∑ pierwiastek z (n+1) − pierwiastek z n / n² ∑ pierwiastek z (n+1) − pierwiastek z n / pierwiastek z n

sushi_ gg6397228: ZAPISZ ZA POMOCA WZOROW −−> ściąga jest obok

Marta: ∑ ⁽⁻³ⁿ⁾ⁿ_(n+4)ⁿ ∑ ^{√n+1 − √n}_n² ∑ ^{√n+1 − √n}_√n

sushi_ gg6397228: teraz jeszcze raz U zamiast u aby bylo czytelnie

Marta:

	(−3n)n
∑
	(n+4)n

	√n+1 − √n
∑
	n2

	√n+1 − √n
∑
	√n

sushi_ gg6397228: a) jezeli by nie bylo 4 w mianowniku to byśmy mieli ....

Marta: dziękuje za zainteresowanie. niestety musze iść ale o 20 wracam i dalej rozwiązuje te zadania :< z góry dziękuje za pomoc!

Marta: czy moge liczyć na dalszą pomoc?

sushi_ gg6397228: nie dostalem odpowiedzi z godziny 18.,53

Marta: nie jestem pewna, ale gdyby nie było 4 granica wyszłaby 0? czyli szereg zbieżny? tak na to patrzymy?

sushi_ gg6397228: zapiszemy w jednym nawiasie wyraz ogólny sumy

	ab		a
jak mamy		= (		)b (zastosuj taki wzorek)
	cb		c

Marta:

	−3n
no tak i mamy (		)n
	n

Marta: ale nie wiem co dalej z tym, na górze będa wyrazy ujemne na dole ∞

sushi_ gg6397228: do czego dazy nawias ?

Marta: do 0?

	−3		n
możemy to rozbić na		i		?
	n		n

czyli pierwszy ułamek dąży do 0 a 0ⁿ daje dalej 0

sushi_ gg6397228:

	−3n
a moze sie coś skróci?		=....
	n

Marta: aaaaaaaaa... no przecież. takie proste a takie trudne do zauważenia.. więc zostanie nam −3 i to jest nasza granica, tak?

sushi_ gg6397228: widzimy ze wyraz ogólny (−3)ⁿ nie dązy do 0, warunek konieczny nie jest spelniony

	−3n
wiec wracajac do przykładu mamy		−−> −3 wiec szereg nie jest zbiezny
	n+4

Marta: rozumiem. a teraz mógłbyś sprawdzić czy dobrze zrobiłam przykład taki:

Marta:

	(−1)n
∑
	3n3

	1
∑ (−1)n −> jest to szereg naprzemienny czy lim		musi się równać 0, a równa się bo
	3n3

mianownik dąży do ∞ czyli całość do 0 czyli ten szereg jest zbieżny, zgadza sie?

Marta: moge liczyć też na pomoc przy dwóch pozostałych przykładach?

Basia: Nie zgadza się. To jest warunek konieczny, ale nie wystarczający.

	1
Czy ∑		jest zbieżny ?
	n

Zastosuj kryterium Leibnitza

Marta: nie,jest harmoniczny. a na mocy kryterium Leibnitza wyjdzie zbieżny, prawda? a moge liczyć na pomoc też przy tych dwóch przykładach?

sushi_ gg6397228: zbiezny na mocy Leibnitza b) i c) domnoż licznik i mianownik przez √n+1 + √n

Marta: c) wyszło mi

1
	→ 0
√n+1*√n*n

tak?

Marta: b)

1
	→ 0
n2(√n+1+√n)

i co teraz dalej? możemy powiedzieć już że szereg jest zbieżny?

sushi_ gg6397228: a gdzie jest dodawanie w mianowniku ?

sushi_ gg6397228: robimy po kolei przyklad, a nie dwa na raz, bo sie wszystko po.... i nic nie bedziesz rozumiec

Marta: więc tak

	√n+1−√n		√n+1+√n		n+1−n
∑		*		=		=
	√n		√n+1+√n		√n*(√n+1+√n)

	1
		→ 0
	√n*√n+1+n

zgadza sie?

sushi_ gg6397228:

	1		1		1
∑		≈ ∑		= ∑		szereg rozbiezny
	√n*√n+1 + n		√n*√n + n		2 n

wiec wyjsciowy tez jest rozbiezny

Marta: wyjaśnisz mi tylko co Ty zrobiłeś z tym mianownikiem, bo z tym mam problem..

sushi_ gg6397228: "ZABRAŁEM 1" I NIC WIECEJ ≈ oznacza ze szeregi zachowują sie tak samo

Marta: ok, już wiem. dziękuje. a przykład ten jak mam tak:

1
n2(√n+1+√n)

to co moge zrobić? też zabrać 1? i powstanie

1		1
	=
n2*2√n		n2*2*n1/2

i mamy szereg harmoniczny który jest rozbieżny tak?

sushi_ gg6397228: nie zabieramy tylko dajemy drugi szereg

	1		1		1		1
∑		≈ ∑		=∑		=∑		szereg
	n2(√n+1 +√n )		n2(√n +√n )		2*n2*√n		2n5/2

zbiezny, wiec wyjsciowy tez jest zbiezny

Marta: rozumiem. jesteś wielki! czy moge mieć jeszcze prośbe do jednego zadania? a mianowicie chodzi o to zbadać zbieżność wykorzystując następujący wniosek: Jeżeli dla pewnego α granica lim an n^α jest skończona i różna od zera, to: − dla α>1 szereg ∑an jest zbieżny − dla α≤1szereg ∑an jest rozbieżny i o to przykłady:

	n2+2n+4
1) ∑
	3n3

	1
2) ∑
	2n2−n+3√n+4

	√n2+3−√n2+2
3) ∑
	n

	n2+3n+2
4) 5√
	n4+3n2+5n

sushi_ gg6397228:

	1
an= nα to mozna zrobić sobie tak an= (		) −α
	n

i teraz patrzymy α>1 to dany sobie np α=4 i mamy ∑n⁴ to widac, ze szereg jest rozbiezny

sushi_ gg6397228: dla α≤1 to trzeba rozpatrzec kilka wariantow ( α<−1, −1<α<0, 0≤α≤ 1) i widac ze w kazdym przedziale bedzie co innego (zbiezny , rozbiezny) wiec stweirdzenie ze jest rozbiezny jest fałszywe

sushi_ gg6397228: co do zadan 1, 2,3 to postaraj sie zrobic tak jak ja szeregi podobne "kasujac zbedne wyrazy"

Marta: skorzystam z tej rady i zrobie to jutro, mam nadzieje ze coś wyjdzie.

Marta: z 1) i 3) dałam sobie rade jednak na pozostałe dwa nie mam pomysłu

Krzysiek: 2) największa potęga w mianowniku to n²

	1
zatem jest przypuszczenie, że szereg będzie zbieżny ponieważ ∑		jest zbieżny
	n2

zatem ograniczaj od góry lub skorzystaj z kryterium ilorazowego

	n2		1
4)patrzymy na największe potęgi w ułamku:		=
	n4		n2

	1		1
i jest jeszcze pierwiastek:		=
	5√n2		n2/5

2/5 <1 zatem przypuszczamy, że szereg będzie rozbieżny więc ograniczaj od dołu lub skorzystaj z kryterium ilorazowego