Różniczkowalnosc Olek: Zakladając, że funkcja f jest rozniczkowalna w punkcie x₀ oblicz granicę lim_h→0 [f(x₀ + h) − f(x₀ − h)]/h i powiedziec czy z istnienia tej granicy wynika rozniczkowalnosc funkcji w punkcie x₀

Artur_z_miasta_Neptuna:

	f(x+h)−f(x−h)		f(x+h)−f(x) + f(x)−f(x−h)
lim		=lim		=
	h		h

	f(x+h)−f(x)		f(x)−f(x−h)
= lim (		−		) = f'(x) + f'(x)
	h		h

Artur_z_miasta_Neptuna: tam jest + pomiędzy ułamkami

Olek: Dzięki rozumiem a mogłbys mi uzasadnic dlaczego ten wynik stanowi o rozniczkowalnosci w punkcie x0?

Olek: Bo istnieje pochodna w tym punkcie ? Może tak wygladac odp?

Olek: I jesli mogłbys mi pomóc w takim zadaniu //Zbadaj rozniczkowalnosc funkcji : f(x)=x² *D(x) w punkcie x₀=0, gdzie D(x)={1 dla x∊Q 0 dla x∊R/Q

Artur_z_miasta_Neptuna: istnieje pochodna w tym punkcie = funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie to jest jedno i to samo

Basia: nie wynika; na przykład

	1
f(x) =
	x

x₀ = 0

	f(0+h)−f(0−h)		1h − 1−h		2
limh→0		= limh→0		= limh→0		= +∞
	h		h		h2

natomiast funkcja nie jest różniczkowalna w p−cie x₀ bo nie jest w tym punkcie określona jeżeli jednak funkcja jest określona w x₀ i ta granica jest skończona to prawdopodobnie funkcja musi być w x₀ różniczkowalna ale w tej chwili nie wiem jak to udowodnić

Basia: jeszcze za słabe założenia przykład: −x dla x<0 f(x) = 5 dla x=0 x dla x>0 x₀=0

	f(x0+h)−f(x0−h)		h−(−h)
limh→0		= limh→0		= 2
	h		h

natomiast funkcja nie jest w x₀=0 różniczkowalna bo nie jest w x₀=0 ciągła czyli musiałoby prawdopodobnie być: 1. ta granica istnieje i jest skończona 2. f(x) jest określona w x₀ 3. f(x) jest w x₀ ciągła i przy założeniu ciągłości już powinno dać się to dość łatwo udowodnić reasumując:

	f(x0+h)−f(x0−h)
z istnienia limh→0		nie wynika różniczkowalność funkcji w p−cie x0
	h

(potrzebne dodatkowe założenia)

Basia: ciągłość też nie wystarczy f(x) = x dla x<0 x² dla x≥0 x₀ = 0 f(0)=0 i f(x) jest w x₀=0 ciągła

	f(0+h) − f(0−h)		h2−h		h(h−1)
limh→0		= limh→0		= limh→0		=
	h		h		h

lim_h→0 (h−1) = 0−1 = −1 istnieje i jest skończona natomiast

	f(0+h)−f(0)		h2−0
limh→0+		= limh→0+		= limh→0 h = 0
	h		h

	f(0+h)−f(0)		h−0
limh→0−		= limh→0−		= 1
	h		h

czyli f'(0) nie istnieje co tylko potwierdza ostatnie napisane poprzednio zdanie

	f(x0+h)−f(x0−h)
z istnienia limh→0
	h

nie wynika różniczkowalność funkcji w p−cie x0